《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

26. 如图,点E,F为线段BD的两个三等分点,四边形AECF是菱形.
(1)试判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)若菱形AECF的周长为20,BD为24,试求四边形ABCD的面积.

答案：
解:
(1) 四边形 $ABCD$ 为菱形. 理由如下: 如图, 连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$. $ \because $ 四边形 $AECF$ 是菱形, $ \therefore AC \perp BD$, $AO = OC$, $EO = OF$. 又 $ \because $ 点 $E$, $F$ 为线段 $BD$ 的两个三等分点, $ \therefore BE = FD$, $ \therefore BO = OD$. $ \because AO = OC$, $ \therefore $ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形. $ \because AC \perp BD$, $ \therefore $ 四边形 $ABCD$ 为菱形.

(2) $ \because $ 四边形 $AECF$ 为菱形, 且周长为 20, $ \therefore AE = 5$. $ \because BD = 24$, $ \therefore EF = 8$, $OE = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2} \times 8 = 4$, 由勾股定理, 得 $AO = \sqrt{AE^{2} - OE^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$, $ \therefore AC = 2AO = 2 \times 3 = 6$, $ \therefore S_{四边形ABCD} = \frac{1}{2}BD \cdot AC = \frac{1}{2} \times 24 \times 6 = 72$.

27. 如图,正方形ABCD的边长为1,AC是对角线,AE平分$∠BAC,EF⊥AC$于点F.
(1)求证:$BE= CF$;
(2)求BE的长.$\sqrt{2}-1$

答案：
(1) 证明: $ \because $ 四边形 $ABCD$ 为正方形, $ \therefore \angle B = 90^{\circ}$, $ \because EF \perp AC$, $ \therefore \angle EFA = 90^{\circ}$. $ \because AE$ 平分 $ \angle BAC$, $ \therefore BE = EF$. 又 $ \because AC$ 平分 $ \angle BCD$, $ \therefore \angle ACB = 45^{\circ}$, $ \therefore \angle FEC = \angle FCE$, $ \therefore EF = FC$, $ \therefore BE = CF$.
(2) 解: 设 $BE$ 为 $x$, 则 $EF = CF = x$, 在 $ \mathrm{Rt} \triangle CEF$ 中可求得 $CE = \sqrt{2}x$. $ \because BC = 1$, $ \therefore x + \sqrt{2}x = 1$, 解得 $x = \sqrt{2} - 1$, 即 $BE$ 的长为 $ \sqrt{2} - 1$.

28. (牡丹江节选)如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,$∠AEF= 90^{\circ}$,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,过点F作$FG⊥BC$于点G,连接AC.易证$AC= \sqrt{2}(EC+FG)$.(提示:取AB的中点M,连接EM)
(1)当点E是BC边上任意一点时,如图2;当点E在BC延长线上时,如图3.请直接写出AC,EC,FG的数量关系,并对图2进行证明;
(2)已知正方形ABCD的面积是27,连接AF,当$\triangle ABE中有一个内角为30^{\circ}$时,则AF的长为______.

答案：

(1) $AC = \sqrt{2}(FG + EC)$. 证明: 如图, 在 $AB$ 上截取 $BM = BE$, 连接 $EM$. $ \because $ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $ \therefore \angle B = \angle BCD = 90^{\circ}$, $AB = BC$, $ \therefore \angle DCG = 90^{\circ}$, $ \angle EAM + \angle AEB = 90^{\circ}$. $ \because BM = BE$, $ \therefore AB - BM = BC - BE$, $ \angle BME = \angle BEM = 45^{\circ}$, $ \therefore AM = EC$, $ \angle AME = 135^{\circ}$. $ \because CF$ 平分 $ \angle DCG$, $ \therefore \angle FCG = 45^{\circ}$, $ \therefore \angle ECF = 135^{\circ}$, $ \therefore \angle AME = \angle ECF$. $ \because \angle AEF = 90^{\circ}$, $ \therefore \angle FEC + \angle AEB = 90^{\circ}$, $ \therefore \angle EAM = \angle FEC$.

在 $ \triangle AEM$ 和 $ \triangle EFC$ 中, $ \begin{cases} \angle AME = \angle ECF \\ AM = EC \\ \angle EAM = \angle FEC \end{cases} $ $ \therefore \triangle AEM \cong \triangle EFC ( \mathrm{ASA} )$, $ \therefore EM = CF$. $ \because EM = \sqrt{2}BE$, $CF = \sqrt{2}FG$, $ \therefore BE = FG$. $ \because AC = \sqrt{2}BC = \sqrt{2}(BE + EC)$, $ \therefore AC = \sqrt{2}(FG + EC)$.
(2) $6\sqrt{2}$ 或 $6\sqrt{6}$