《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

知识点1 认识勾股定理
直角三角形两条直角边的①平方和等于斜边的②平方.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为③勾,较长的直角边称为④股,斜边称为⑤弦,因此,上述定理称为⑥勾股定理,国外称为毕达哥拉斯定理.

答案： ①平方和 ②平方 ③勾 ④股 ⑤弦 ⑥勾股

知识点2 勾股定理的应用
如图,在△ABC中,∠C= 90°.
(1)若已知a,b,则斜边c=$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
(2)若已知a,c,则b=$\sqrt{c^{2}-a^{2}}$
(3)若已知b,c,则a=$\sqrt{c^{2}-b^{2}}$
(4)若已知a= b,则斜边c= ⑩$\sqrt{2}$a= ⑪$\sqrt{2}$b.

答案： ⑦$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ⑧$\sqrt{c^{2}-a^{2}}$ ⑨$\sqrt{c^{2}-b^{2}}$ ⑩$\sqrt{2}$ ⑪$\sqrt{2}$

知识点3 勾股定理的逆定理
1.内容:如果三角形两边的⑫平方和等于第三边的⑬平方,那么这个三角形是⑭直角三角形.
2.应用:判定一个三角形是直角三角形.

答案： ⑫平方和 ⑬平方 ⑭直角

知识点4 勾股数
能够成为直角三角形三条边长度的三个⑮正整数,称为勾股数,如3,4,⑯5;5,⑰12,13等.
【拓展】勾股数的几种形式
(1)若n为大于1的整数,则$a= n^2-1,b= 2n,c= n^2+1$是勾股数.
(2)若n为正整数,则$a= 2n+1,b= 2n^2+2n,c= 2n^2+2n+1$是勾股数.
(3)若m＞n,m,n为正整数,则$a= m^2-n^2,b= 2mn,c= m^2+n^2$是勾股数.
(4)一组勾股数中的各数同时扩大相同的整数倍能得到一组新的勾股数,即若a,b,c是一组勾股数,则ka,kb,kc(k为正整数)也是勾股数.
(5)若最小的数a为奇数,且满足$a^2= b+c(b,c$为连续的正整数),则a,b,c就是一组勾股数,如7,24,25等.
(6)若最小的数a为大于4的偶数,把a除以2再平方,这个平方数各加减1得到两个正整数b,c,则a,b,c就是一组勾股数.如6,8,10;8,15,17等.

答案： ⑮正整数 ⑯5 ⑰12

1. (陕西)如图, 在 $ 3 × 3 $ 的网格中, 每个小正方形的边长均为 1, 点 $ A, B, C $ 都在格点上, 若 $ B D $ 是 $ \triangle A B C $ 的高, 则 $ B D $ 的长为 (D)

A. $ \frac{10}{13} \sqrt{13} $
B. $ \frac{9}{13} \sqrt{13} $
C. $ \frac{8}{13} \sqrt{13} $
D. $ \frac{7}{13} \sqrt{13} $

答案： D

2. (新疆)如图, 在 $ \mathrm{Rt} \triangle A B C $ 中, $ \angle A C B= 90^{\circ} $, $ \angle A= 30^{\circ}, A B= 4, C D \perp A B $ 于点 $ D, E $ 是 $ A B $ 的中点, 则 $ D E $ 的长为 (A)

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： A