《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

11. 一个正多边形的一个外角等于$30^{\circ }$,则这个正多边形的边数为______12.

答案： 12

12. 一个平行四边形的一条边长为3,两条对角线的长分别为4和$2\sqrt {5}$,则它的面积为$4 \sqrt { 5 } $.

答案： $4 \sqrt { 5 } $

13. 如图,在▱ABCD中,DE平分$∠ADC$,$AD= 6$,$BE= 2$,则$□ ABCD$的周长是______20.

答案： 20

14. 如图,在正方形ABCD中,$AB= 2$,E为边AB上一点,F为边BC上一点.连接DE和AF交于点G,连接BG.若$AE= BF$,则BG长的最小值为$\sqrt{5}-1$.

答案： $ \sqrt { 5 } - 1 $

15. (8分)如图,分别以$Rt\triangle ABC$的直角边AC及斜边AB向外作等边$\triangle ACD$,等边$\triangle ABE$.已知$∠BAC= 30^{\circ }$,$EF⊥AB$,垂足为点F,连接DF.求证：
(1)$AC= EF$；
证明：$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ \angle B A C = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore A B = 2 B C $。$ \because \triangle A B E $ 是等边三角形，$ E F \perp A B $，$ \therefore A B = 2 A F $，$ \therefore A F = B C $，在 $ \mathrm { Rt } \triangle A F E $ 和 $ \mathrm { Rt } \triangle B C A $ 中，$ A F = B C $，$ A E = A B $，$ \therefore \triangle A F E \cong \triangle B C A ( \mathrm { HL } ) $，$ \therefore A C = E F $。
(2)四边形ADFE是平行四边形.
证明：$ \because \triangle A C D $ 是等边三角形，$ \therefore A C = A D $。又由(1)知 $ A C = E F $，$ \therefore E F = A D $。$ \because \angle D A C = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle D A B = \angle D A C + \angle B A C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore EF // AD $，$ \therefore $ 四边形 $ A D F E $ 是平行四边形。

答案： 证明：
(1) $ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ \angle B A C = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore A B = 2 B C $。$ \because \triangle A B E $ 是等边三角形，$ E F \perp A B $，$ \therefore A B = 2 A F $，$ \therefore A F = B C $，在 $ \mathrm { Rt } \triangle A F E $ 和 $ \mathrm { Rt } \triangle B C A $ 中，$ A F = B C $，$ A E = A B $，$ \therefore \triangle A F E \cong \triangle B C A ( \mathrm { HL } ) $，$ \therefore A C = E F $。
(2) $ \because \triangle A C D $ 是等边三角形，$ \therefore A C = A D $。又由
(1)知 $ A C = E F $，$ \therefore E F = A D $。$ \because \angle D A C = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle D A B = \angle D A C + \angle B A C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore EF // AD $，$ \therefore $ 四边形 $ A D F E $ 是平行四边形。

16. (8分)如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在边AB,AD的延长线上,且$BE= DF$,连接CE,CF.求证：$CE= CF$.
证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是菱形，$ \therefore $$BC = CD$，$\angle ABC = \angle ADC$。$ \because \angle ABC + \angle CBE = 180 ^ { \circ } $，$ \angle ADC + \angle CDF = 180 ^ { \circ } $，$ \therefore $$\angle CBE = \angle CDF$。在 $ \triangle CBE $ 和 $ \triangle CDF $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { CB = CD, } \\ { \angle CBE = \angle CDF, } \\ { BE = DF, } \end{array} \right. $ $ \therefore $$\triangle CBE \cong \triangle CDF(\text{SAS})$，$ \therefore CE = CF $。

答案： 证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是菱形，$ \therefore B C = C D $，$ \angle A B C = \angle A D C $。$ \because \angle A B C + \angle C B E = 180 ^ { \circ } $，$ \angle A D C + \angle C D F = 180 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle C B E = \angle C D F $。在 $ \triangle C B E $ 和 $ \triangle C D F $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { C B = C D , } \\ { \angle C B E = \angle C D F , } \\ { B E = D F , } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle C B E \cong \triangle C D F ( \mathrm { SAS } ) $，$ \therefore C E = C F $。

17. (8分)(恩施州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且$DE// AC$,$AE// BD$,连接OE.求证：$OE⊥AD$.
证明：$ \because D E // A C $，$ A E // B D $，$ \therefore $ 四边形 $ A O D E $ 为平行四边形。$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 为矩形，$ \therefore O A = O D $，$ \therefore $ 平行四边形 $ A O D E $ 为菱形，$ \therefore O E \perp A D $.

答案： 证明：$ \because D E // A C $，$ A E // B D $，$ \therefore $ 四边形 $ A O D E $ 为平行四边形。$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 为矩形，$ \therefore O A = O D $，$ \therefore $ 平行四边形 $ A O D E $ 为菱形，$ \therefore O E \perp A D $。

18. (8分)(丹东)如图,在▱ABCD中,O是边AD的中点,连接CO并延长交BA的延长线于点E,连接AC,DE.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A B // C D $，$ \therefore \angle B E C = \angle D C E $。$ \because O $ 是边 $ A D $ 的中点，$ \therefore A O = D O $。在 $ \triangle A E O $ 和 $ \triangle D C O $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A E O = \angle D C O , } \\ { \angle A O E = \angle D O C , } \\ { A O = D O , } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A E O \cong \triangle D C O ( \mathrm { AAS } ) $，$ \therefore A E = C D $，$ \therefore $ 四边形 $ A C D E $ 是平行四边形。
(2)若$AB= AC$,判断四边形ACDE的形状,并说明理由.
解：四边形 $ A C D E $ 是菱形。理由如下：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A B = C D $。$ \because A B = A C $，$ \therefore C D = A C $，$ \therefore $ 平行四边形 $ A C D E $ 是菱形，即四边形 $ A C D E $ 是菱形。

答案：
(1) 证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A B // C D $，$ \therefore \angle B E C = \angle D C E $。$ \because O $ 是边 $ A D $ 的中点，$ \therefore A O = D O $。在 $ \triangle A E O $ 和 $ \triangle D C O $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A E O = \angle D C O , } \\ { \angle A O E = \angle D O C , } \\ { A O = D O , } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A E O \cong \triangle D C O ( \mathrm { AAS } ) $，$ \therefore A E = C D $，$ \therefore $ 四边形 $ A C D E $ 是平行四边形。
(2) 解：四边形 $ A C D E $ 是菱形。理由如下：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A B = C D $。$ \because A B = A C $，$ \therefore C D = A C $，$ \therefore $ 平行四边形 $ A C D E $ 是菱形，即四边形 $ A C D E $ 是菱形。