《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

19. (10分)如图,菱形ABCD中,作$BE⊥AD$,$CF⊥AB$,分别交AD,AB的延长线于点E,F.
(1)求证：$AE= BF$；
证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是菱形，$ \therefore A B = B C $，$ A D // B C $，$ \therefore \angle A = \angle C B F $。$ \because B E \perp A D $，$ C F \perp A B $，$ \therefore \angle A E B = \angle B F C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \triangle A E B \cong \triangle B F C $，$ \therefore A E = B F $。
(2)若点E恰好是AD的中点,$AB= 2$,求BD的值.
解：$ \because E $ 是 $ A D $ 中点，且 $ B E \perp A D $，$ \therefore $ 直线 $ B E $ 为 $ A D $ 的垂直平分线，$ \therefore B D = A B = $2。

答案：
(1) 证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是菱形，$ \therefore A B = B C $，$ A D // B C $，$ \therefore \angle A = \angle C B F $。$ \because B E \perp A D $，$ C F \perp A B $，$ \therefore \angle A E B = \angle B F C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \triangle A E B \cong \triangle B F C $，$ \therefore A E = B F $。
(2) 解：$ \because E $ 是 $ A D $ 中点，且 $ B E \perp A D $，$ \therefore $ 直线 $ B E $ 为 $ A D $ 的垂直平分线，$ \therefore B D = A B = 2 $。

20. (10分)(滨州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,$BE// AC$,$AE// BD$.
(1)求证：四边形AOBE是菱形；
证明：$ \because B E // A C $，$ A E // B D $，$ \therefore $ 四边形 $ A O B E $ 是平行四边形。$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是矩形，$ \therefore A C = B D $，$ O A = \frac { 1 } { 2 } A C $，$ O B = \frac { 1 } { 2 } B D $，$ \therefore O A = O B $，$ \therefore $ 四边形 $ A O B E $ 是菱形。
(2)若$∠AOB= 60^{\circ }$,$AC= 4$,求菱形AOBE的面积.
解：过点 $ B $ 作 $ B F \perp O A $ 于点 $ F $。$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是矩形，$ A C = 4 $，$ \therefore A C = B D = 4 $，$ \therefore O A = O B = 2 $。$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } \triangle B F O $ 中，$ \angle A O B = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle F B O = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore O F = \frac { 1 } { 2 } O B = 1 $，$ \therefore B F = \sqrt { O B ^ { 2 } - O F ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } $，$ \therefore S _ { \text { 菱形 } A O B E } = O A \cdot B F = 2 × \sqrt { 3 } = $$ 2 \sqrt { 3 } $。

答案：
(1) 证明：$ \because B E // A C $，$ A E // B D $，$ \therefore $ 四边形 $ A O B E $ 是平行四边形。$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是矩形，$ \therefore A C = B D $，$ O A = \frac { 1 } { 2 } A C $，$ O B = \frac { 1 } { 2 } B D $，$ \therefore O A = O B $，$ \therefore $ 四边形 $ A O B E $ 是菱形。
(2) 解：过点 $ B $ 作 $ B F \perp O A $ 于点 $ F $。$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是矩形，$ A C = 4 $，$ \therefore A C = B D = 4 $，$ \therefore O A = O B = 2 $。$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } \triangle B F O $ 中，$ \angle A O B = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle F B O = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore O F = \frac { 1 } { 2 } O B = 1 $，$ \therefore B F = \sqrt { O B ^ { 2 } - O F ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } $，$ \therefore S _ { \text { 菱形 } A O B E } = O A \cdot B F = 2 \times \sqrt { 3 } = 2 \sqrt { 3 } $。

21. (12分)已知：如图,在▱ABCD中,点O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.
(1)求证：$\triangle AOD≌\triangle EOC$；
(2)连接AC,DE,当$∠B= ∠AEB= $______°时,四边形ACED是正方形？请说明理由.

答案：

(1) 证明：如图①，$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A D // B C $，$ \therefore \angle D = \angle O C E $，$ \angle D A O = \angle E $。又 $ \because O C = O D $，$ \therefore \triangle A O D \cong \triangle E O C $。
(2) 解：当 $ \angle B = \angle A E B = 45 ^ { \circ } $ 时，四边形 $ A C E D $ 是正方形。理由如下：如图②，$ \because \triangle A O D \cong \triangle E O C $，$ \therefore O A = O E $。又 $ \because O C = O D $，$ \therefore $ 四边形 $ A C E D $ 是平行四边形。$ \because \angle B = \angle A E B = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore A B = A E $，$ \angle B A E = 90 ^ { \circ } $。$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A B // C D $，$ A B = C D $，$ \therefore \angle C O E = \angle B A E = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore □ A C E D $ 是菱形。$ \because A B = A E $，$ A B = C D $，$ \therefore A E = C D $，$ \therefore $ 菱形 $ A C E D $ 是正方形。

22. (12分)如图,AD是$\triangle ABC$的角平分线,$DE⊥AB$,$DF⊥AC$,垂足分别是E,F,连接EF,EF与AD相交于点H.
(1)求证：$AD⊥EF$；
(2)当$\triangle ABC$满足什么条件时,四边形AEDF是正方形？请说明理由.

(1) 证明：$ \because A D $ 是 $ \triangle A B C $ 的角平分线，$ \therefore \angle E A D = \angle F A D $。$ \because D E \perp A B $，$ D F \perp A C $，$ \therefore \angle A E D = \angle A F D = 90 ^ { \circ } $。在 $ \triangle A E D $ 与 $ \triangle A F D $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle E A D = \angle F A D , } \\ { \angle A E D = \angle A F D , } \\ { A D = A D , } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A E D \cong \triangle A F D $(AAS)，$ \therefore A E = A F $，$ \therefore A D \perp E F $。
(2) 解：当 $ \triangle A B C $ 满足$\angle BAC=90^{\circ}$时，四边形 $ A E D F $ 是正方形。理由如下：$ \because \angle A E D = \angle A F D = \angle B A C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore $ 四边形 $ A E D F $ 是矩形。$ \because E F \perp A D $，$ \therefore $ 四边形 $ A E D F $ 是正方形。

答案：
(1) 证明：$ \because A D $ 是 $ \triangle A B C $ 的角平分线，$ \therefore \angle E A D = \angle F A D $。$ \because D E \perp A B $，$ D F \perp A C $，$ \therefore \angle A E D = \angle A F D = 90 ^ { \circ } $。在 $ \triangle A E D $ 与 $ \triangle A F D $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle E A D = \angle F A D , } \\ { \angle A E D = \angle A F D , } \\ { A D = A D , } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A E D \cong \triangle A F D ( \mathrm { AAS } ) $，$ \therefore A E = A F $，$ \therefore A D \perp E F $。
(2) 解：当 $ \triangle A B C $ 满足 $ \angle B A C = 90 ^ { \circ } $ 时，四边形 $ A E D F $ 是正方形。理由如下：$ \because \angle A E D = \angle A F D = \angle B A C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore $ 四边形 $ A E D F $ 是矩形。$ \because E F \perp A D $，$ \therefore $ 四边形 $ A E D F $ 是正方形。

23. (14分)(嘉峪关)
【问题解决】
如图①,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,$DE= AF$,$DE⊥AF$于点G.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H,使得$BH= AE$,判断$\triangle AHF$的形状,并说明理由.
【类比迁移】
如图②,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,DE与AF相交于点G,$DE= AF$,$∠AED= 60^{\circ }$,$AE= 6$,$BF= 2$,求DE的长.
(1) 证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是矩形，$ \therefore \angle D A B = \angle A B C = 90 ^ { \circ } $。$ \because D E \perp A F $，$ \therefore \angle D A B = \angle A G D = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle B A F + \angle D A F = 90 ^ { \circ } $，$ \angle A D E + \angle D A F = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle A D E = \angle B A F $。$ \because D E = A F $，$ \therefore \triangle A D E \cong \triangle B A F $，$ \therefore A D = A B $。$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是矩形，$ \therefore $ 四边形 $ A B C D $ 是正方形。
(2) 解：$\triangle AHF$ 是等腰三角形。理由如下：由(1)知四边形 $ A B C D $ 是正方形，$ \therefore \angle D A B = \angle A B C = 90 ^ { \circ } $，$ A B = D A $，$ \therefore \angle A B H = 90 ^ { \circ } = \angle D A B $。$ \because B H = A E $，$ \therefore \triangle A B H \cong \triangle D A E $，$ \therefore D E = A H $。$ \because D E = A F $，$ \therefore A H = A F $，$ \therefore \triangle A H F $ 是等腰三角形。
【类比迁移】解：延长 $ C B $ 到点 $ H $，使 $ B H = A E = 6 $，连接 $ A H $。$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是菱形，$ \therefore A D // B C $，$ A B = A D $，$ \therefore \angle A B H = \angle B A D $。$ \because B H = A E $，$ \therefore \triangle A B H \cong \triangle D A E $，$ \therefore A H = D E $，$ \angle A H B = \angle D E A = 60 ^ { \circ } $。$ \because D E = A F $，$ \therefore A H = A F $，$ \therefore \triangle A H F $ 是等边三角形，$ \therefore A H = H F = H B + B F = A E + B F = 6 + 2 = 8 $，$ \therefore D E = A H = $8。

答案： 【问题解决】
(1) 证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是矩形，$ \therefore \angle D A B = \angle A B C = 90 ^ { \circ } $。$ \because D E \perp A F $，$ \therefore \angle D A B = \angle A G D = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle B A F + \angle D A F = 90 ^ { \circ } $，$ \angle A D E + \angle D A F = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle A D E = \angle B A F $。$ \because D E = A F $，$ \therefore \triangle A D E \cong \triangle B A F $，$ \therefore A D = A B $。$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是矩形，$ \therefore $ 四边形 $ A B C D $ 是正方形。
(2) 解：$ \triangle A H F $ 是等腰三角形。理由如下：由
(1)知四边形 $ A B C D $ 是正方形，$ \therefore \angle D A B = \angle A B C = 90 ^ { \circ } $，$ A B = D A $，$ \therefore \angle A B H = 90 ^ { \circ } = \angle D A B $。$ \because B H = A E $，$ \therefore \triangle A B H \cong \triangle D A E $，$ \therefore D E = A H $。$ \because D E = A F $，$ \therefore A H = A F $，$ \therefore \triangle A H F $ 是等腰三角形。
【类比迁移】解：延长 $ C B $ 到点 $ H $，使 $ B H = A E = 6 $，连接 $ A H $。$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是菱形，$ \therefore A D // B C $，$ A B = A D $，$ \therefore \angle A B H = \angle B A D $。$ \because B H = A E $，$ \therefore \triangle A B H \cong \triangle D A E $，$ \therefore A H = D E $，$ \angle A H B = \angle D E A = 60 ^ { \circ } $。$ \because D E = A F $，$ \therefore A H = A F $，$ \therefore \triangle A H F $ 是等边三角形，$ \therefore A H = H F = H B + B F = A E + B F = 6 + 2 = 8 $，$ \therefore D E = A H = 8 $。