《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

知识点1 一元二次方程的概念
1. 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是①2的整式方程叫做一元二次方程.
2. 一般形式：$ax^{2}+bx+c= 0$(其中a,b,c为常数,$a≠0$),$ax^{2}$,$bx$,$c$分别叫做二次项,一次项和常数项,$a$,$b$分别称为二次项系数和一次项系数.
3. 一元二次方程必须具有三个条件：(1)必须是②整式方程；(2)必须只含有③一个未知数；(3)所含未知数的最高次数是④2.

答案： ①2 ②整式 ③一个 ④2

知识点2 一元二次方程的解法
1. 直接开平方法：适用于形如$(x+a)^2=b(b≥0)$的方程，方程两边直接开平方得$x+a=±\sqrt{b}$，转化为两个一元一次方程求解.
2. 配方法：
用配方法解一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般步骤：
(1)化二次项系数为1：方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为⑤化为 1；
(2)移项：把⑥常数项移到方程的右边；
(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为⑦$(x\pm m)^{2}=n(n≥0)$的形式；
(4)求解：若$n≥0$，则利用直接开平方法求解；若$n<0$，则原方程无实数根.
3. 公式法：
(1)把一元二次方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
(2)确定$a,b,c$的值；
(3)计算$b^2-4ac$的值：
①当$b^2-4ac>0$时，方程有两个不相等的实数根，$x=$⑧$\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$；
②当$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根，$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$；
③当$b^2-4ac<0$时，方程没有实数根.
4. 因式分解法：
(1)基本思想：若$A·B=0$，则$A=0$或$B=0$.
(2)适用条件：方程左边易于分解，右边为0.
(3)步骤：
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
5. 一元二次方程根的判别式：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，把$b^2-4ac$叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“$\Delta$”表示.
(1)$\Delta>0\Leftrightarrow$方程有两个不相等的实数根；
(2)$\Delta$⑨等于 0$\Leftrightarrow$方程有两个相等的实数根；
(3)$\Delta<0\Leftrightarrow$方程没有实数根.

答案： ⑤化为 1 ⑥常数项 ⑦$(x\pm m)^{2}=n(n≥0)$ ⑧$\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$ ⑨等于 0

知识点3 一元二次方程根的判别式
1. 根的判别式：一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$是否有实数根,由$b^{2}-4ac$的符号来确定,我们把$b^{2}-4ac$叫做一元二次方程根的判别式.
2. 一元二次方程根的情况与判别式的关系：
(1)当$b^{2}-4ac＞0$时,方程有⑩两个不相等的实数根；
(2)当$b^{2}-4ac= 0$时,方程有⑪两个相等的实数根；
(3)当$b^{2}-4ac＜0$时,方程⑫无实数根,反之亦然.

答案： ⑩两个不相等 ⑪两个相等 ⑫无

知识点4 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系：若$x_{1}$,$x_{2}是一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的两根,则$x_{1}+x_{2}=$⑬$-\frac {b}{a}$,$x_{1}\cdot x_{2}=$⑭$\frac {c}{a}$.

答案： ⑬$-\frac {b}{a}$ ⑭$\frac {c}{a}$