《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

1.(达州)以下命题是假命题的是 (A)
A.$\sqrt {4}$的算术平方根是2
B.有两边相等的三角形是等腰三角形
C.一组数据:3,-1,1,1,2,4的中位数是1.5
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

答案： A

2.(梧州)如图,DE是$\triangle ABC$的边BC的垂直平分线,分别交边AB,BC于点D,E,且AB= 9,AC= 6,则$\triangle ACD$的周长是 (C)

A.10.5
B.12
C.15
D.18

答案： C

3.如图,在$\triangle ABC$中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,$∠B= 60^{\circ },∠C= 25^{\circ }$,则$∠BAD$为 (B)

A.$50^{\circ }$
B.$70^{\circ }$
C.$75^{\circ }$
D.$80^{\circ }$

答案： B

4.如图,在$\triangle ABC$中,$BC= 9,AC= 4$,分别以点A,B为圆心,大于$\frac {1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC边于点D,连接AD,则$\triangle ACD$的周长为13.

答案： 13

5.命题“正方形对角线互相垂直平分”的逆命题是____假命题.

答案： 假命题

6.命题“如果$a= b$,那么$a^{2}= b^{2}$”的逆命题是____假____命题.

答案： 假

7.用一组a,b,c的值说明命题“若$a＞b$,则$ac＞bc$”是假命题,这组值可以是3,2,-1(按a,b,c的顺序填写).

答案： 3,2,-1(答案不唯一)

8.求证:顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于其顶角的一半.
(1)在图中按照下面“已知”的条件,画出符合题意的图形,并根据题设和结论,结合图形,补充完整“已知”和“求证”;
已知:在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle A$为锐角，$CD \perp AB$ 于点 $D$.
求证:$\angle BCD = \frac{1}{2} \angle A$.
(2)证明上述命题.

答案：
(1)图略 $CD \perp AB$ 于点 $D$ $ \angle BCD = \frac{1}{2} \angle A $
(2)证明: $ \because AB = AC $, $ \therefore \angle B = \angle ACB = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A $. $ \because CD \perp AB $, $ \therefore \angle ACD = 90^{\circ} - \angle A $, $ \therefore \angle BCD = \angle ACB - \angle ACD = (90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A) - (90^{\circ} - \angle A) = \frac{1}{2} \angle A $.

9.如图,在四边形ABCD中,$∠A= ∠B= 90^{\circ },AB= 25cm,DA= 15cm,CB= 10cm$.动点E沿AB边从点A出发,以2cm/s的速度向点B移动,设移动的时间为x秒.
(1)当x为何值时,点E在线段CD的垂直平分线上?
答：当x为5时，点E在线段CD的垂直平分线上.
(2)在(1)的条件下,判断DE与CE的位置关系,并说明理由.
答：DE与CE的位置关系是DE⊥CE. 理由如下: ∵△ADE≌△BEC, ∴∠ADE=∠CEB. ∵∠A=90°, ∴∠ADE+∠AED=90°, ∴∠AED+∠CEB=90°, ∴∠DEC=180°-(∠AED+∠CEB)=90°, ∴DE⊥CE.

答案： 解:
(1)当 $ x = 5 $ 时,点 $ E $ 在线段 $ CD $ 的垂直平分线上. 当 $ x = 5 $ 时, $ AE = 2 \times 5 = 10(cm) $. $ \because AB = 25 cm $, $ DA = 15 cm $, $ CB = 10 cm $, $ \therefore BE = AB - AE = 15 cm = DA $, $ AE = CB $. 在 $ \triangle ADE $ 和 $ \triangle BEC $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { A D = B E, } \\ { \angle A = \angle B, } \\ { A E = B C, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle ADE \cong \triangle BEC $ (SAS), $ \therefore DE = CE $, $ \therefore $ 点 $ E $ 在线段 $ CD $ 的垂直平分线上. 即当 $ x = 5 $ 时,点 $ E $ 在线段 $ CD $ 的垂直平分线上.
(2)$ DE $ 与 $ CE $ 的位置关系是 $ DE \perp CE $. 理由如下: $ \because \triangle ADE \cong \triangle BEC $, $ \therefore \angle ADE = \angle CEB $. $ \because \angle A = 90^{\circ} $, $ \therefore \angle ADE + \angle AED = 90^{\circ} $, $ \therefore \angle AED + \angle CEB = 90^{\circ} $, $ \therefore \angle DEC = 180^{\circ} - (\angle AED + \angle CEB) = 90^{\circ} $, $ \therefore DE \perp CE $.