《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

21. (12分)
(1)已知实数$a满足a^{2}-6a+\sqrt {b+4}+9= 0$,求$(a+b)^{2023}$的值；
(2)已知$a$,$b满足b＜\sqrt {a-5}+\sqrt {5-a}+3$,化简：$\sqrt {a+4}+|b-5|-\sqrt {b^{2}-8b+16}$。

答案： 解：
(1) $ \because a ^ { 2 } - 6 a + \sqrt { b + 4 } + 9 = 0 $，$ \therefore ( a - 3 ) ^ { 2 } + \sqrt { b + 4 } = 0 $。$ \because ( a - 3 ) ^ { 2 } \geq 0 $，$ \sqrt { b + 4 } \geq 0 $，$ \therefore a - 3 = 0 $，$ b + 4 = 0 $，$ \therefore a = 3 $，$ b = - 4 $，$ \therefore ( a + b ) ^ { 2023 } = ( 3 - 4 ) ^ { 2023 } = - 1 $
(2) $ \because a - 5 \geq 0 $，$ 5 - a \geq 0 $，$ \therefore a = 5 $。$ \because b ＜ \sqrt { a - 5 } + \sqrt { 5 - a } + 3 $，$ \therefore b ＜ 0 + 0 + 3 $，即 $ b ＜ 3 $，$ \therefore \sqrt { a + 4 } + | b - 5 | - \sqrt { b ^ { 2 } - 8 b + 16 } = 3 + 5 - b - | b - 4 | = 8 - b - ( 4 - b ) = 8 - b - 4 + b = 4 $

22. (12分)某区组织环卫工作人员开展草坪种植,若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪,已知该长方形土地的长为$\sqrt {343}m$、宽为$\sqrt {224}m$。
(1)求该长方形土地的周长；
(2)若在该长方形土地上种植造价为每平方米160元的草坪,求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用。(结果保留整数,参考数据：$\sqrt {2}\approx 1.41$)

答案： 解：
(1) $ 2 ( \sqrt { 343 } + \sqrt { 224 } ) = 2 ( 7 \sqrt { 7 } + 4 \sqrt { 14 } ) = ( 14 \sqrt { 7 } + 8 \sqrt { 14 } ) \mathrm { m } $。$ \therefore $ 该长方形土地的周长为 $ ( 14 \sqrt { 7 } + 8 \sqrt { 14 } ) \mathrm { m } $
(2) $ \sqrt { 343 } \times \sqrt { 224 } = 7 \sqrt { 7 } \times 4 \sqrt { 14 } = 196 \sqrt { 2 } \approx 276.36 ( \mathrm { m } ^ { 2 } ) $，$ 160 \times 276.36 \approx 44218 $ (元)。$ \therefore $ 在该长方形土地上全部种植草坪的总费用为 44218 元。

23. (14分)我们知道$(a+b)(a-b)= a^{2}-b^{2}$,那么：$(\sqrt {3}+\sqrt {2})(\sqrt {3}-\sqrt {2})= (\sqrt {3})^{2}-(\sqrt {2})^{2}= 1$,$\therefore \sqrt {3}-\sqrt {2}= \frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}$；$(\sqrt {4}+\sqrt {3})(\sqrt {4}-\sqrt {3})= (\sqrt {4})^{2}-(\sqrt {3})^{2}= 1$,$\therefore \sqrt {4}-\sqrt {3}= \frac {1}{\sqrt {4}+\sqrt {3}}＜\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}$,即$\sqrt {4}-\sqrt {3}＜\sqrt {3}-\sqrt {2}$。
请根据上述的解题提示,解决下列问题：
(1)比较大小：
①$\sqrt {3}-\sqrt {2}$与$\sqrt {2}-1$；
$ \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } ＜ \sqrt { 2 } - 1 $
②$\sqrt {5}-\sqrt {4}$与$\sqrt {4}-\sqrt {3}$；
$ \sqrt { 5 } - \sqrt { 4 } ＜ \sqrt { 4 } - \sqrt { 3 } $
(2)由(1)中比较的结果猜想$\sqrt {n+1}-\sqrt {n}$与$\sqrt {n}-\sqrt {n-1}$的大小关系；
$ \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } ＜ \sqrt { n } - \sqrt { n - 1 } $
(3)对(2)中的猜想给出证明。
证明：$ \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } = \frac { ( \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } ) ( \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n } ) } { \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n } } = \frac { 1 } { \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n } } $。$ \because \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n } ＞ \sqrt { n } + \sqrt { n - 1 } $，$ \therefore \frac { 1 } { \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n } } ＜ \frac { 1 } { \sqrt { n } + \sqrt { n - 1 } } $，即 $ \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } ＜ \sqrt { n } - \sqrt { n - 1 } $

答案：
(1) 解：① $ \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } $，$ \sqrt { 2 } - 1 = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } + 1 } $。$ \because \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ＞ \sqrt { 2 } + 1 $，$ \therefore \frac { 1 } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } ＜ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } + 1 } $，$ \therefore \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } ＜ \sqrt { 2 } - 1 $。② $ \sqrt { 5 } - \sqrt { 4 } = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 4 } } $，$ \sqrt { 4 } - \sqrt { 3 } = \frac { 1 } { \sqrt { 4 } + \sqrt { 3 } } $。$ \because \sqrt { 5 } + \sqrt { 4 } ＞ \sqrt { 4 } + \sqrt { 3 } $，$ \therefore \frac { 1 } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 4 } } ＜ \frac { 1 } { \sqrt { 4 } + \sqrt { 3 } } $，$ \therefore \sqrt { 5 } - \sqrt { 4 } ＜ \sqrt { 4 } - \sqrt { 3 } $
(2) 猜想：$ \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } ＜ \sqrt { n } - \sqrt { n - 1 } $
(3) 证明：$ \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } = \frac { ( \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } ) ( \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n } ) } { \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n } } = \frac { 1 } { \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n } } $。$ \because \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n } ＞ \sqrt { n } + \sqrt { n - 1 } $，$ \therefore \frac { 1 } { \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n } } ＜ \frac { 1 } { \sqrt { n } + \sqrt { n - 1 } } $，即 $ \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } ＜ \sqrt { n } - \sqrt { n - 1 } $