《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

13. 已知关于x的一元二次方程$(a-1)x^{2}-2x+1= 0$有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 (D)
A. $a＜2$
B. $a＞2$
C. $a＜-2$
D. $a＜2且a≠1$

答案： D

14. 如果关于x的方程$x^{2}-ax+a^{2}-3= 0$至少有一个正根,则实数a的取值范围是 (C)
A. $-2＜a＜2$
B. $\sqrt {3}＜a≤2$
C. $-\sqrt {3}＜a≤2$
D. $-\sqrt {3}≤a≤2$

答案： C

15. 下列方程中,没有实数根的是 (B)
A. $x^{2}-4x+4= 0$
B. $x^{2}-2x+5= 0$
C. $x^{2}-2x= 0$
D. $x^{2}-2x-3= 0$

答案： B

16. 已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+2x+2-c= 0$有两个相等的实数根,则$\frac {1}{a}+c$的值等于 (B)
A. -2
B. 2
C. 4
D. -4

答案： B

17. 关于x的一元二次方程$ax^{2}-2x+1= 0$有实数根,则整数a的最大值是 (A)
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2

答案： A

18. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程4kx^{2}-4kx+k+1= 0$的两个实数根,且$\frac {x_{1}}{x_{2}}+\frac {x_{2}}{x_{1}}-2$的值为整数,则整数k的最大值为 (A)
A. -2
B. -3
C. 2
D. 3

答案： A

19. (怀化)对于一元二次方程$2x^{2}-3x+4= 0$,则它根的情况为 (A)
A. 没有实数根
B. 两根之和是3
C. 两根之积是-2
D. 有两个不相等的实数根

答案： A

20. (南充)已知方程$x^{2}-2021x+1= 0的两根分别为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}^{2}-\frac {2021}{x_{2}}$的值为 (B)
A. 1
B. -1
C. 2021
D. -2021

答案： B

21. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+2k= 0有两个实数根x_{1},x_{2}$.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得$x_{1}\cdot x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}≥0$成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

答案： 解:
(1)$\because$原方程有两个实数根,$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=[-(2k+1)]^{2}-4(k^{2}+2k)\geqslant 0$,即$1-4k\geqslant 0$,解得$k\leqslant \frac{1}{4}$.
(2)假设存在实数$k$使得$x_{1}\cdot x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\geqslant 0$成立.$\because x_{1},x_{2}$是原方程的两根,$\therefore x_{1}+x_{2}=2k+1,x_{1}\cdot x_{2}=k^{2}+2k$.由$x_{1}\cdot x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\geqslant 0$,得$3x_{1}\cdot x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}\geqslant 0$,$\therefore 3(k^{2}+2k)-(2k+1)^{2}\geqslant 0$,整理得$-(k-1)^{2}\geqslant 0$,只有当$k=1$时,上式才能成立.又由
(1)知$k\leqslant \frac{1}{4}$,$\therefore$不存在实数$k$使得$x_{1}\cdot x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\geqslant 0$成立.

22. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2(a-1)x+a^{2}-a-2= 0有两个不相等的实数根x_{1},x_{2}$.
(1)若a为正整数,求a的值;1,2
(2)若$x_{1},x_{2}满足x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 16$,求a的值.-1

答案： 解:
(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(a-1)x+a^{2}-a-2=0$有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta =[-2(a-1)]^{2}-4(a^{2}-a-2)＞0$,解得$a＜3$.$\because a$为正整数,$\therefore a=1,2$.
(2)$\because x_{1}+x_{2}=2(a-1),x_{1}x_{2}=a^{2}-a-2$.$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=16$,$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=16$,$\therefore [2(a-1)]^{2}-3(a^{2}-a-2)=16$,解得$a_{1}=-1,a_{2}=6$.$\because a＜3$,$\therefore a=-1$.