《2025年新思维冲刺小升初达标总复习数学》

6. 一块长方形铁皮,长62.8厘米,宽31.4厘米。如果用它围成一根圆柱形的管子,这根管子的半径是(10)厘米或(5)厘米。

答案： 解析：本题考查圆柱的侧面展开图。
如果以62.8厘米为底面周长，则半径$r_1$为：
$r_1=\frac{62.8}{2\pi}=\frac{62.8}{2×3.14}=10$（厘米）
如果以31.4厘米为底面周长，则半径$r_2$为：
$r_2=\frac{31.4}{2\pi}=\frac{31.4}{2×3.14}=5$（厘米）
答案：10；5。

7. 一个圆柱的底面半径和高都是4厘米,这个圆柱的侧面积是(32π)平方厘米,表面积是(64π)平方厘米,体积是(64π)立方厘米。(结果保留π)

答案： 解析：
本题主要考查圆柱的侧面积、表面积和体积的计算。
首先，计算圆柱的侧面积。
圆柱的侧面积公式是：$S_{侧} = 2\pi rh$，其中$r$是底面半径，$h$是高。
根据题目，$r = 4$厘米，$h = 4$厘米，代入公式得：$S_{侧} = 2\pi × 4 × 4 = 32\pi(平方厘米)$，
接着，计算圆柱的表面积。
圆柱的表面积包括两个底面积和一个侧面积。
底面积公式是：$S_{底} = \pi r^{2}$，
所以，两个底面积就是：$2S_{底} = 2\pi r^{2} = 2\pi × 4^{2} = 32\pi(平方厘米)$，
因此，圆柱的总表面积是：$S_{表} = S_{侧} + 2S_{底} = 32\pi + 32\pi = 64\pi(平方厘米)$，
最后，计算圆柱的体积。
圆柱的体积公式是：$V = \pi r^{2}h$，
代入$r = 4$厘米，$h = 4$厘米，得：$V = \pi × 4^{2} × 4 = 64\pi(立方厘米)$，
答案：
这个圆柱的侧面积是$32\pi$平方厘米，表面积是$64\pi$平方厘米，体积是$64\pi$立方厘米。

8. 一段体积是52.8立方分米的圆柱形材料,削成一个最大的圆锥,削去部分的体积是(35.2)立方分米。

答案： 解析：本题主要考查圆柱和圆锥的体积关系。
我们知道圆柱的体积公式为$V = S_{底} × h$，其中$S_{底}$是底面积，h 是高。
圆锥的体积公式为$V = \frac{1}{3} × S_{底} × h$。
由于圆柱和圆锥是由同一段材料削成的，所以他们的底面积和高都是一样的。
因此，圆锥的体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$。
那么削去的部分体积就是圆柱体积的$\frac{2}{3}$。
计算过程：
圆柱体积 $V_{圆柱} = 52.8$ 立方分米
圆锥体积 $V_{圆锥} = \frac{1}{3} × V_{圆柱} = \frac{1}{3} × 52.8 = 17.6$ 立方分米
削去的体积 $V_{削去} = V_{圆柱} - V_{圆锥} = 52.8 - 17.6 = 35.2$ 立方分米
答案：35.2 立方分米。

9. 把一个长12厘米、宽9厘米、高4厘米的长方体切成3个大小相同的小长方体,切成的3个小长方体的表面积之和比原来最少增加(144)平方厘米,最多增加(432)平方厘米。

答案： 原长方体表面积固定，切成3个小长方体需切2次，每次增加2个面，共增加4个面。
要使表面积增加最少，应增加面积最小的面。长方体最小面面积为宽×高：9×4=36平方厘米，增加面积：36×4=144平方厘米。
要使表面积增加最多，应增加面积最大的面。长方体最大面面积为长×宽：12×9=108平方厘米，增加面积：108×4=432平方厘米。
144，432

10. 现有等底等高的圆锥形和圆柱形容器各一个,将圆柱形容器里装满水后,再倒入圆锥形容器里,当圆柱形容器里的水全部倒完时,共溢出36.2升水,这时圆锥形容器里有水(18100)毫升。

答案： 解析：本题考查圆锥和圆柱的体积关系。
圆锥的体积是等底等高圆柱体积的$\frac{1}{3}$，所以溢出的水是圆柱体积的$\frac{2}{3}$，
设圆柱的体积为$V$，
则$\frac{2}{3}V=36.2$，
解得$V=54.3$，
圆锥的体积为$\frac{1}{3}V=18.1$（升），
根据单位换算：1升 = 1000毫升
$18.1升=18100毫升$，
答案：18100毫升。

11. 一个圆锥形的沙堆,底面积是18.84平方米,高是1.2米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面,能铺(37.68)米长。

答案： 解析：本题考查圆锥的体积以及长方体的体积公式。
圆锥的体积公式是：$V=\frac{1}{3}×\text{底面积}×\text{高}$，
此题中圆锥的底面积是18.84平方米，高是1.2米，所以圆锥的体积为：
$V=\frac{1}{3}×18.84×1.2=7.536$（立方米），
因为路面是由沙堆铺成的，所以路面的体积等于圆锥的体积，
$1\text{米}=100\text{厘米}$，
所以$2\text{厘米}=0.02\text{米}$，
长方体的体积公式为：$V=\text{长}×\text{宽}×\text{高}$，
公路的宽是10米，高（厚）是0.02米，
设路面的长度为L米，则有：
$L×10×0.02=7.536$，
解这个方程，得到：
$L=\frac{7.536}{10×0.02}=37.68$（米），
所以，用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺37.68米长。
答案：37.68米。

12. 把一个高6分米的圆柱沿底面半径平均分成若干份,切开后拼成一个近似的长方体,表面积比原来增加了48平方分米。原来圆柱的体积是(96π)立方分米。(结果保留π)

答案： 解析：本题主要考查圆柱的体积公式。
将一个高6分米的圆柱沿底面半径平均分成若干份，切开后拼成一个近似的长方体。
这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个以圆柱的高为长，圆柱的底面半径为宽的长方形的面积。
已知表面积比原来增加了48平方分米，
所以一个以圆柱的高为长，圆柱的底面半径为宽的长方形的面积为：$48÷2=24$(平方分米)。
长方形的面积公式为：$面积=长×宽$，这里的长就是圆柱的高，宽就是圆柱的底面半径，
所以可得：$6× r=24$，
解得：$r=4$。
$圆柱的体积=\pi× r^2× h$，其中$\pi$取圆周率，$r$是底面半径，$h$是高。
将$r=4$分米，$h=6$分米代入公式，可得：
$圆柱的体积=\pi×4^2×6=96\pi$(立方分米)。
答案：$96\pi$。

13. 一根长1.5米的圆柱形木料,锯掉4分米长的一段小圆柱后,表面积减少了16π平方分米。这根木料原来的体积是(60π)立方分米。(结果保留π)

答案： 1.5米=15分米
16π÷4=4π（分米）
4π÷π÷2=2（分米）
π×2²×15=60π（立方分米）
60π

二、判断题。(每题1分,共8分)
1. 正方体、长方体和圆柱的体积公式都能用$V= Sh$表示。(√)
2. 圆柱的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的$\frac {1}{2}$,它的体积不变。(×)
3. 把一个圆柱削成一个最大的圆锥,削去部分与圆锥的体积比是$2:1$。(√)
4. 圆柱侧面展开后是一个正方形,这个圆柱的底面直径和高相等。(×)
5. 棱长是6分米的正方体,它的表面积和体积相等。(×)
6. 一个物体的体积越大,它的容积也越大。(×)
7. 体积是1立方分米的物体,它的底面积一定是1平方分米。(×)
8. 把一块正方体橡皮泥捏成一个长方体后,虽然它的形状变了,但是它所占有的空间大小不变。(√)

答案： 解析：本题考查长方体、正方体和圆柱体的体积公式，以及圆柱体的体积变化规律，还有圆锥体与圆柱体的体积关系，还有圆柱的侧面展开图，还有表面积和体积的意义，物体体积和容积的关系，还有长方体和正方体的体积。
1.正方体、长方体和圆柱的体积公式都能用$V= Sh$表示，其中S是底面积，h是高。这是正确的。
答案：√。
2.圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的$\frac {1}{2}$，根据圆柱体的体积公式，其体积会变为原来的$2^2 × \frac{1}{2}=2$倍，而不是不变。
答案：×。
3.把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分与圆锥的体积比是$2:1$。这是正确的，因为圆锥的体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，所以削去的部分是圆柱体积的$\frac{2}{3}$，与圆锥的体积比为$2:1$。
答案：√。
4.圆柱侧面展开后是一个正方形，说明圆柱的底面周长与高相等，而不是底面直径和高相等。
答案：×。
5.棱长是6分米的正方体，它的表面积和体积的数值虽然可以计算出来，但两者表示的意义不同，单位也不同，因此不能直接相等。
答案：×。
6.一个物体的体积越大，并不意味着它的容积也越大。因为容积是指物体内部可以容纳的空间大小，与物体的体积（包括物体本身所占的空间）不同。
答案：×。
7.体积是1立方分米的物体，它的底面积不一定是1平方分米。因为体积是底面积与高的乘积，所以底面积还取决于物体的高。
答案：×。
8.把一块正方体橡皮泥捏成一个长方体后，虽然它的形状变了，但是它所占有的空间大小不变。这是正确的，因为橡皮泥的体积在变形前后是不变的。
答案：√。