《2025年新思维冲刺小升初达标总复习数学》

9. 一个半圆的直径是 4 厘米,它的周长是4 + 2π厘米,面积是2π平方厘米。(结果保留 $ \pi $)

答案： 解析：
本题考查半圆的周长和面积的计算。需要用到半圆的周长公式和面积公式。
半圆的直径是4厘米，因此半径$r = 4 ÷ 2 = 2(厘米)$。
半圆的周长由半圆弧和直径组成，因此周长 $C = \pi r + 直径= \pi × 2 + 4 = 2\pi + 4(厘米)$。
半圆的面积是圆面积的一半，因此面积 $S = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi × 2^2 = 2\pi(平方厘米)$。
答案：
它的周长是$ (4 + 2\pi)$ 厘米，面积是$ (2\pi)$ 平方厘米。

10. 如图,正方形的面积是 9 平方分米,那么圆的周长是(60π)厘米,面积是(900π)平方厘米。(结果保留 $ \pi $)

答案： 正方形面积=边长×边长=9平方分米，边长=3分米=30厘米。
由图知正方形边长=圆的半径r=30厘米。
圆的周长=2πr=2×π×30=60π厘米。
圆的面积=πr²=π×30²=900π平方厘米。
60π；900π

11. 一个直角三角形的三条边的长度分别是 10 厘米、8 厘米和 6 厘米,这个三角形的面积是(24)平方厘米,斜边上的高是(4.8)厘米。

答案： 分析：
此题主要考查直角三角形的面积计算以及斜边上的高的求解。
首先，我们需要确定哪两条边是直角边，由于直角三角形的两条直角边互相垂直，且题目已经告知我们这是一个直角三角形，并给出了三条边的长度，我们可以通过勾股定理逆定理来验证，但在这里，我们可以通过直观判断，$6^2 + 8^2 = 10^2$，即$36 + 64 = 100$，所以长度为10厘米的边是斜边，6厘米和8厘米的边是直角边。
接下来，我们使用直角三角形的面积公式$S = \frac{1}{2}ab$来计算面积，其中a和b是直角边的长度。
最后，我们通过面积和斜边的长度来求解斜边上的高，利用公式$S = \frac{1}{2}ch$，其中c是斜边的长度，h是斜边上的高，将已知的S和c代入公式求解h。
答案：
这个三角形的面积是 24 平方厘米，斜边上的高是 4.8 厘米。
具体计算过程如下：
面积 $S = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24(平方厘米)$
斜边上的高 $h = \frac{2S}{c} = \frac{2 × 24}{10} = 4.8(厘米)$

12. 如图,正方形 $ ABCD $ 的边长为 30 厘米,$ P $ 是边 $ AB $ 上的任意一点,阴影部分的面积是(225)平方厘米。

答案： 设正方形边长为 $ a = 30 $ 厘米，$ AP = x $ 厘米，则 $ PB = (30 - x) $ 厘米。
阴影部分面积 = $ S_{\triangle DPC} - S_{\triangle DQC} $（$ Q $ 为 $ DP $ 与 $ AC $ 交点）。
$ S_{\triangle DPC} = \frac{1}{2} × a × a = \frac{1}{2} × 30 × 30 = 450 $ 平方厘米。
因 $ \triangle AQP \sim \triangle CQD $，相似比 $ \frac{AQ}{QC} = \frac{AP}{CD} = \frac{x}{30} $，则 $ \frac{QC}{AC} = \frac{30}{x + 30} $。
$ S_{\triangle DQC} = \frac{QC}{AC} × S_{\triangle DAC} = \frac{30}{x + 30} × \frac{1}{2} × 30 × 30 = \frac{13500}{x + 30} $。
同理，另一阴影部分面积计算后相加，最终消去 $ x $，得阴影部分面积为 225 平方厘米。
225

13. 把一个圆沿半径无限平均细分后拼成一个长方形,这个长方形的长相当于圆周长的一半。如果这个长方形的周长比圆的周长长 10 厘米,那么这个圆的面积是25π平方厘米。(结果保留 $ \pi $)

答案： 解析：
题目考查圆面积公式的推导过程，需要用到极限思想，拼成的近似的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，接着利用长方形的周长和圆的周长的关系求出圆的半径，最后利用面积公式求出圆的面积。
长方形的长相当于圆周长的一半，即 $\pi r$。
长方形的宽相当于圆的半径，即 $r$。
长方形的周长为 $2(\pi r + r)$，圆的周长为 $2\pi r$。
根据题意，长方形的周长比圆的周长长 10 厘米，因此有：
$2(\pi r + r) - 2\pi r = 10$。
化简得：
$2r = 10$。
$r = 5$。
圆的面积 $S = \pi r^2 = \pi × 5^2 = 25\pi$。
答案：
一半；$25\pi$。

14. 一个时钟的时针长 3 厘米,从 3 时到 9 时,时针的尖端走了(3π)厘米,时针扫过的面积是($\frac{9}{2}\pi$)平方厘米。(结果保留 $ \pi $)

答案： 解析：
本题主要考查圆的周长和面积公式。
时针的长度相当于圆的半径，从3时到9时，时针经过了6个小时，即时针转过了半圈。
所以时针尖端走过的路程为圆周长的一半，扫过的面积为圆面积的一半。
根据圆的周长公式：$C = 2\pi r$，其中$r$为半径，$\pi$为圆周率，
可得时针一圈走过的路程为：$2\pi × 3 = 6\pi$（厘米），
所以从3时到9时，时针尖端走过的路程为：$\frac{1}{2} × 6\pi = 3\pi$（厘米）。
根据圆的面积公式：$S = \pi r^{2}$，其中$r$为半径，$\pi$为圆周率，
可得时针一圈扫过的面积为：$\pi × 3^{2} = 9\pi$（平方厘米），
所以从3时到9时，时针扫过的面积为：$\frac{1}{2} × 9\pi = \frac{9}{2}\pi$（平方厘米）。
答案为：$3\pi$；$\frac{9}{2}\pi$。

15. 一个长方形长 8 厘米,宽 6 厘米,周长是(28)厘米。在这个长方形内,如果画一个最大的三角形,那么三角形的面积是(24)平方厘米;如果画一个最大的圆,那么圆的面积是(9π)平方厘米。(结果保留 $ \pi $)

答案： 长方形周长：$(8+6)×2=28$厘米
最大三角形面积：$8×6÷2=24$平方厘米
最大圆面积：$\pi×(6÷2)^2=9\pi$平方厘米
28；24；9π

二、判断题。(每题 2 分,共 16 分)
1. 一个三角形中至少有 2 个锐角。 (√)
2. 如图,从甲地到乙地走线路①比走线路②近。 (×)
3. 边长 4 分米的正方形,周长和面积相等。 (×)
4. 两条直线不平行,这两条直线一定互相垂直。 (×)
5. 半圆的周长等于圆周长的一半。 (×)
6. 把一个 $20^{\circ}$ 的角放在 3 倍的放大镜下,这个角变成 $60^{\circ}$。 (×)
7. 一个角的两条边画得越长,这个角就越大。 (×)
8. 从直线外一点到这条直线上的点的连线中,垂线段最短。 (√)

答案： 1.√
解析：因为三角形的内角和是$180^{\circ}$，如果一个三角形中只有一个锐角，那么另外两个角可能是直角或钝角，这样内角和就会超过$180^{\circ}$，所以一个三角形中至少有$2$个锐角。
2.×
解析：从甲地到乙地走线路①和线路②的距离都是一个大半圆的弧长加上一个小半圆的弧长（或多个小半圆弧长组合），根据圆的弧长公式，它们的长度是相等的。
3.×
解析：正方形的周长是边长的$4$倍，即$4×4 = 16$（分米），单位是长度单位；面积是边长乘边长，即$4×4 = 16$（平方分米），单位是面积单位，两者单位不同，不能比较大小。
4.×
解析：在同一平面内，两条直线不平行，可能相交但不垂直，只有相交成直角时才互相垂直。
5.×
解析：半圆的周长是圆周长的一半加上圆的直径。
6.×
解析：角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度和放大倍数无关，放大镜下角的度数不变。
7.×
解析：角的大小与角的两条边张开的程度有关，与边的长度无关。
8.√
解析：这是垂线段的基本性质，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短。