《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 已知$A(3,-2,4),B(0,5,-1)$，若$\overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$（$O$为坐标原点），则点$C$的坐标是（ ）
A. $(2,-\frac{14}{3},\frac{10}{3})$
B. $(-2,\frac{14}{3},-\frac{10}{3})$
C. $(2,-\frac{14}{3},-\frac{10}{3})$
D. $(-2,-\frac{14}{3},\frac{10}{3})$

答案： 1.B
∵AB=(−3,7,−5),
∴OC=$\frac{2}{3}$(−3,7,−5)=　(−2$\frac{14}{3}$−$\frac{10}{3}$).
∴点C的坐标为(−2,$\frac{14}{3}$,一$\frac{10}{3}$,故选B.

2. 已知向量$\boldsymbol{a}=(1,1,0)$，则与$\boldsymbol{a}$共线的单位向量$\boldsymbol{e}$可以是（ ）
A. $(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0)$
B. $(0,1,0)$
C. $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0)$
D. $(1,1,1)$

答案： 2.C　因为向量a=(1,1,0),所以不妨设与α共线的单位向量e=(a,a,0),则｜e｜=　$\sqrt{a²+a²+0}$=1,解得a=　±$\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以与a共线的单位向量为($\frac{√2}{2}$$\frac{√2}{2}$,o)或(−$\frac{\sqrt{2}}{2}$　$\frac{\sqrt{2}}{2}$,0).故选C.

3. 若$\boldsymbol{a}=(1,\lambda,-1),\boldsymbol{b}=(2,-1,2)$，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角的余弦值为$\frac{1}{9}$，则$|\boldsymbol{a}|=$（ ）
A. $\frac{9}{4}$
B. $\frac{\sqrt{10}}{2}$
C. $\frac{3}{2}$
D. $\sqrt{6}$

答案： 3.C　因为a.b=1×2+x×(−1)+(−1)×2=−λ,a.b=|a|.|b|cos(a,b)=　$\sqrt{2+入²}$　　$\sqrt{9}$×$\frac{1}{9}$=　$\frac{1}{3}$$\sqrt{2+a²}$,所以$\frac{1}{3}$　$\sqrt{2+入²}$=一λ,解得λ²=$\frac{1}{4}$,所以|a|=/$\sqrt{\frac{1}{4}+1}$1+　　　=$\frac{3}{2}$,故选C.

4. 已知空间中点$A(x,y,z),O(0,0,0),B(\sqrt{2},\sqrt{3},2)$. 若$AO = 1$，则$AB$的最小值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： 4.B
∵AO=1,
∴A是以O为球心，1为半径的球上的点
∵0(0,0,0),B($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,2),
∴OB=OB|=　$\sqrt{\sqrt{2})²+(\sqrt{3})²+2²}$=3,
∴AB的最小值为OB−OA=　3−1=2,此时O,A,B三点共线,且点A在O,B中间,故选B.

5. 已知空间向量$\boldsymbol{a}=(2,-2,1),\boldsymbol{b}=(3,0,4)$，则向量$\boldsymbol{b}$在向量$\boldsymbol{a}$上的投影向量是（ ）
A. $\frac{10}{9}(3,0,4)$
B. $\frac{2}{5}(3,0,4)$
C. $\frac{10}{9}(2,-2,1)$
D. $\frac{2}{5}(2,-2,1)$

答案： 5.C
∵a=(2,−2,1),b=(3,0,4),
∴|a||b|.cos＜a,b)=a.b=2×3+(−2)×0+1×4=10,｜a|=　　$\sqrt{2²+(−2)²+1²}$=3,
∴向量b在向量a上的投影向量是｜b|cos(a,b).$\frac{a}{a|}$=$\frac{a.b}{la|²}$.a=$\frac{10}{9}$(2,−2,1).故选C.

6.（多选）若向量$\boldsymbol{a}=(1,2,0),\boldsymbol{b}=(-2,0,1)$，则下列结论正确的是（ ）
A. $\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=-\frac{2}{5}$
B. $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$
C. $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$
D. $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$

答案： 6.AD
∵向量a=(1,2,0),b=(−2,0,1),
∴|a｜=$\sqrt{5}$,|b|=$\sqrt{5}$　a.b=1×(−2)+2×0+0×1=−2,
∴cos(a,b)=$\frac{a.b}{a||b|}$=$\frac{−2}{5}$=−$\frac{2}{5}$.　由上知A正确,B不正确,C显然也不正确,D正确.

7. 空间向量$\boldsymbol{a}=(2,3,-2),\boldsymbol{b}=(2,-m,-1)$，如果$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{b}| =$_______.

答案： 7.3
　解析
∵向量a=(2,3,−2),b=(2,−m,−1),且a⊥b,
∴a.b=0,
∴2×2−3m+2=0,解得m=2,
∴b=　(2,−2,−1),
∴1b1=　$\sqrt{2²+(−2)²+(−1)²}$=3.

8. 已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3),\boldsymbol{b}=(-2,-4,-6)$，$|\boldsymbol{c}|=\sqrt{14}$，若$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=7$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{c}$的夹角为_______.

答案： 8.120°
　解析　由题意得a+b=(−1,−2,−3)=−a,　故(a+b).c=−a.c=7,得a.c=−7,　而|a|=　$\sqrt{1°+2²+3²}$=　$\sqrt{14}$,所以cos(a,c)=　$\frac{a.c}{|a|lc|}$=−$\frac{1}{2}$,所以(a,c)=120°.

9. 设$x,y\in\mathbf{R}$，向量$\boldsymbol{a}=(x,1,1),\boldsymbol{b}=(1,y,1)$，$\boldsymbol{c}=(2,-4,2)$，且$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}//\boldsymbol{c}$.
（1）求$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$；
（2）求向量$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$夹角的大小.

答案： 9.解　
(1)由x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=　(2,−4,2),且a⊥b,b//c,可得x+y+1=0,$\frac{1}{2}$=$\frac{y}{−4}$=　$\frac{1}{2}$,解得x=1,y=−2,则a=(1,1,1),b=(1,−2,1),所以a+b=(2,−1,2),故｜a+b｜=　　$\sqrt{2²+(−1)²+2²}$=3.　
(2)因为2a+b−c=(1,4,1),所以(a+b).(2a+b−c)=2×1+(−1)×4+2×1=0,故向量α+b与2a+b一c的夹角为$\frac{π}{2}$