《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10. 已知直线l过点(1,2)且在x，y轴上的截距相等.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a,b)在直线l上，求$3^a+3^b$的最小值.

答案： 解
(1)①截距为$0$时，直线过原点，则直线$l$的方程为$y = 2x$，即$2x - y = 0$；
②截距不为$0$时，设直线$l$的方程为$\frac{x}{t}+\frac{y}{t}=1(t\neq0)$，
将$(1,2)$代入，得$\frac{1}{t}+\frac{2}{t}=1(t\neq0)$，解得$t = 3$，则直线$l$的方程为$\frac{x}{3}+\frac{y}{3}=1$，即$x + y - 3 = 0$。
综上，$l$的方程为$2x - y = 0$或$x + y - 3 = 0$。
(2)由题意得$l:x + y - 3 = 0$，$\therefore a + b = 3$，
$\therefore3^a+3^b\geq2\sqrt{3^a\cdot3^b}=2\sqrt{3^{a + b}}=6\sqrt{3}$，
当且仅当$a = b=\frac{3}{2}$时，等号成立，
$\therefore3^a+3^b$的最小值为$6\sqrt{3}$。

11. 若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有（ ）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

答案： C 设直线的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，$\because$直线经过点$(1,1)$，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为$2$，
$\therefore\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\\\frac{1}{2}|ab| = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = 2\end{cases}$或$\begin{cases}a=-2\sqrt{2}-2\\b = 2\sqrt{2}-2\end{cases}$或$\begin{cases}a = 2\sqrt{2}-2\\b=-2\sqrt{2}-2\end{cases}$，$\therefore$满足条件的直线有$3$条。

12.（2024·沧州一中月考）两条直线$\frac{x}{m}-\frac{y}{n}=1$与$\frac{x}{n}-\frac{y}{m}=1$在同一平面直角坐标系中的图象可能是下图中的（ ）

答案： B 两直线的方程分别化为$\frac{x}{m}+\frac{y}{-n}=1$，$\frac{x}{n}+\frac{y}{-m}=1$，结合选项可知，B 符合，故选 B。

13. 在△ABC中，已知A(5,-2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为________，直线MN的截距式方程为___________.

答案： $(-5,-3)$ $\frac{x}{1}+\frac{y}{-\frac{5}{2}}=1$
解析 设$C(x_0,y_0)$，则$AC$边的中点为$M(\frac{x_0 + 5}{2},\frac{y_0 - 2}{2})$，$BC$边的中点为$N(\frac{x_0 + 7}{2},\frac{y_0 + 3}{2})$。因为点$M$在$y$轴上，所以$\frac{x_0 + 5}{2}=0$，解得$x_0=-5$。因为点$N$在$x$轴上，所以$\frac{y_0 + 3}{2}=0$，解得$y_0=-3$，即$C(-5,-3)$，所以$M(0,-\frac{5}{2})$，$N(1,0)$，所以直线$MN$的截距式方程为$\frac{x}{1}+\frac{y}{-\frac{5}{2}}=1$。

14.（2024·河北承德二中月考）直线过点$P(\frac{4}{3},2)$且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：
①△AOB的周长为12；
②△AOB的面积为6.
若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由.

答案： 解 假设存在这样的直线。
设直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a＞0,b＞0)$，
依题意有$\begin{cases}\frac{4}{3a}+\frac{2}{b}=1\\a + b+\sqrt{a^2 + b^2}=12\\\frac{1}{2}ab = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 4\\b = 3\end{cases}$，
$\therefore$所求直线的方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$，即$3x + 4y - 12 = 0$。
故存在同时满足①②两个条件的直线方程，为$3x + 4y - 12 = 0$。

15.（直观想象）在平面直角坐标系中，方程$\frac{|x|}{3}+\frac{|y|}{2}=1$所表示的曲线是（ ）
A. 两条平行线
B. 一个矩形
C. 一个菱形
D. 两条射线

答案： C 当$x\geq0,y\geq0$时，方程为$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$；当$x\geq0,y\leq0$时，方程为$\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1$；当$x\leq0,y\leq0$时，方程为$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=-1$；当$x\leq0,y\geq0$时，方程为$-\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$。因此原方程所表示的曲线是一个以$(3,0),(0,2),(-3,0),(0,-2)$为顶点的菱形。

16.（易错题）直线l经过点A(-3,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为_________________.

答案： $4x + 3y = 0$或$x + 2y - 5 = 0$
解析 当直线经过原点时，直线方程为$y = -\frac{4}{3}x$；
当直线不经过原点时，若在$y$轴上的截距为$a(a\neq0)$，则在$x$轴上的截距为$2a$，则可设直线方程为$\frac{x}{2a}+\frac{y}{a}=1$，
把点$A(-3,4)$代入，得$\frac{-3}{2a}+\frac{4}{a}=1$，解得$a=\frac{5}{2}$，即直线方程为$x + 2y = 5$。
综上，直线方程为$4x + 3y = 0$或$x + 2y - 5 = 0$。