《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1.（2023·镇江质检）以点P(2，－3)为圆心，与y轴相切的圆的方程是（ ）
A.(x + 2)² + (y - 3)² = 4
B.(x + 2)² + (y - 3)² = 9
C.(x - 2)² + (y + 3)² = 4
D.(x - 2)² + (y + 3)² = 9

答案： C 由题知，圆心为$P(2, - 3)$。因为圆$P$与$y$轴相切，所以圆$P$的半径$r = |x_{P}| = 2$，所以所求圆的方程为$(x - 2)^{2}+(y + 3)^{2}=4$。故选C。

2.若直线y = ax + b经过第一、二、四象限，则圆(x + a)² + (y + b)² = 1的圆心位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： D 易知圆的圆心为$(-a, -b)$。$\because$直线经过第一、二、四象限，$\therefore a\lt0$，$b\gt0$，即$-a\gt0$，$-b\lt0$，$\therefore$圆心在第四象限。

3.（多选）已知圆的方程是(x - 2)² + (y - 3)² = 4，则下列坐标表示的点在圆外的有（ ）
A.(－3，2)
B.(3，2)
C.(1，4)
D.(1，1)

答案： AD 选项A，$(-3 - 2)^{2}+(2 - 3)^{2}=26\gt4$，在圆外；选项B，$(3 - 2)^{2}+(2 - 3)^{2}=2\lt4$，在圆内；选项C，$(1 - 2)^{2}+(4 - 3)^{2}=2\lt4$，在圆内；选项D，$(1 - 2)^{2}+(1 - 3)^{2}=5\gt4$，在圆外。故选AD。

4.方程y = -√(4 - x²)表示的曲线是（ ）

答案： A 对$y =-\sqrt{4 - x^{2}}$两边平方整理得$x^{2}+y^{2}=4(y\leqslant0)$，所以方程表示圆心为坐标原点，半径为$2$的圆在$x$轴及其下方的部分，A选项满足。故选A。

5.（2023·江西赣州摸底）若点(1，1)在圆(x - a)² + (y + a)² = 4的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A.－1 ＜ a ＜ 1
B.0 ＜ a ＜ 1
C.a ＞ 1或a ＜ －1
D.a = ±4

答案： A 因为点$(1,1)$在圆$(x - a)^{2}+(y + a)^{2}=4$的内部，所以$(1 - a)^{2}+(1 + a)^{2}\lt4$，即$a^{2}-1\lt0$，解得$-1\lt a\lt1$。故选A。

6.已知从点(－2，1)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆(x - 1)² + (y - 1)² = 1，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A.3x - 2y - 1 = 0
B.3x - 2y + 1 = 0
C.2x - 3y + 1 = 0
D.2x - 3y - 1 = 0

答案： C 由题意知反射光线过圆心$(1,1)$，又点$(-2,1)$与圆心连线和$x$轴平行，所以入射光线与$x$轴的交点的横坐标为$\frac{-2 + 1}{2}=-\frac{1}{2}$，即入射光线与$x$轴的交点为$(-\frac{1}{2},0)$，所以反射光线所在的直线方程为$\frac{y - 1}{0 - 1}=\frac{x - 1}{-\frac{1}{2}-1}$，即$2x - 3y+1 = 0$。故选C。

7.圆心在x轴上且过点(1，3)的一个圆的标准方程可以是__________.

答案： $(x - 1)^{2}+y^{2}=9$（答案不唯一）
解析 若以$x$轴上的点$(1,0)$为圆心，则半径$r = 3$，所以圆的标准方程为$(x - 1)^{2}+y^{2}=9$。

8.（2024·盐城期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l₁:2x - y - 4 = 0与l₂:x - y - 1 = 0的交点为C，以C为圆心作圆，若圆C上的点到x轴的最小距离为1，则圆C的标准方程为________________.

答案： $(x - 3)^{2}+(y - 2)^{2}=1$
解析 根据题意，联立$\begin{cases}2x - y - 4 = 0\\x - y - 1 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$，故点$C$的坐标为$(3,2)$。设圆$C$的半径为$r$，由题意知，$2 - r = 1$，所以$r = 1$，故圆$C$的标准方程为$(x - 3)^{2}+(y - 2)^{2}=1$。

9.已知圆的圆心M是直线2x + y - 1 = 0与直线x - 2y + 2 = 0的交点，且圆过点P(－5，6)，求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1，8)，C(6，5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

答案： 解 由$\begin{cases}2x + y - 1 = 0\\x - 2y+2 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 0\\y = 1\end{cases}$，
$\therefore$圆心$M$的坐标为$(0,1)$，半径$r = |MP|=\sqrt{5^{2}+(1 - 6)^{2}}=5\sqrt{2}$，
$\therefore$圆的标准方程为$x^{2}+(y - 1)^{2}=50$。
$\because|AM|=\sqrt{(2 - 0)^{2}+(2 - 1)^{2}}=\sqrt{5}\lt r$，$\therefore$点$A$在圆内。
$\because|BM|=\sqrt{(1 - 0)^{2}+(8 - 1)^{2}}=\sqrt{50}=r$，$\therefore$点$B$在圆上。
$\because|CM|=\sqrt{(6 - 0)^{2}+(5 - 1)^{2}}=\sqrt{52}\gt r$，$\therefore$点$C$在圆外。
综上，圆的标准方程为$x^{2}+(y - 1)^{2}=50$，点$A$在圆内，点$B$在圆上，点$C$在圆外。