《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 已知过点$(1,1)$的直线$l$与圆$x^{2}+y^{2}-4x = 0$交于$A,B$两点，则$|AB|$的最小值为（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. 2
C. $2\sqrt{2}$
D. 4

答案： C　将圆的方程$x^{2}+y^{2}-4x = 0$化为标准方程为$(x - 2)^{2}+y^{2}=4$，则圆心为$(2,0)$，半径$r = 2$，则圆心$(2,0)$到点$(1,1)$的距离为$\sqrt{2}$，$|AB|$的最小值为$2\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{2}$。

2. 已知直线$l:x - y + 4 = 0$与圆$C:(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=2$，则圆$C$上的点到直线$l$的距离的最小值为（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. 1
D. 3

答案： A　由题意知，圆$C$上的点到直线$l$的距离的最小值等于圆心$(1,1)$到直线$l$的距离减去圆的半径，即$\frac{|1 - 1 + 4|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$。

3. 点$P$在圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}-8x - 4y + 11 = 0$上，点$Q$在圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}+4x + 2y + 1 = 0$上，则$|PQ|$的最小值是（ ）
A. 5
B. 1
C. $3\sqrt{5}-5$
D. $3\sqrt{5}+5$

答案： C　圆$x^{2}+y^{2}-8x - 4y + 11 = 0$化为标准方程为$(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=9$，圆心为$C_{1}(4,2)$，半径为$3$；圆$x^{2}+y^{2}+4x + 2y + 1 = 0$化为标准方程为$(x + 2)^{2}+(y + 1)^{2}=4$，圆心为$C_{2}(-2,-1)$，半径为$2$。
$\therefore$两圆的圆心距为$|C_{1}C_{2}|=\sqrt{(-2 - 4)^{2}+(-1 - 2)^{2}}=\sqrt{36 + 9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}＞3 + 2 = 5$。
$\therefore$两圆外离。
$\therefore|PQ|$的最小值是两圆的圆心距减去两圆半径的和，即$3\sqrt{5}-5$。

4. 已知实数$x,y$满足方程$x^{2}+y^{2}-4x - 1 = 0$，则$y - 2x$的最小值和最大值分别为（ ）
A. -9,1
B. -10,1
C. -9,2
D. -10,2

答案：
A　$x^{2}+y^{2}-4x - 1 = 0$即$(x - 2)^{2}+y^{2}=5$，易知其为圆的标准方程，且圆心为$(2,0)$。
$y - 2x$可看作是直线$y = 2x + b$在$y$轴上的截距，如图所示。
当直线$y = 2x + b$与圆$(x - 2)^{2}+y^{2}=5$相切时，$b$取得最大值或最小值，此时$\frac{|2\times2 + b|}{\sqrt{1 + 2^{2}}}=\sqrt{5}$，解得$b=-9$或$b = 1$，所以$y - 2x$的最大值为$1$，最小值为$-9$。

5. 已知点$P$是直线$l:3x + 4y - 7 = 0$上的动点，过点$P$引圆$C:(x + 1)^{2}+y^{2}=r^{2}(r\gt0)$的一条切线$PM$，$M$为切点，则当$PM$的最小值为$\sqrt{3}$时，$r$的值为（ ）
A. 2
B. $\sqrt{3}$
C. $\sqrt{2}$
D. 1

答案：
D　如图，由题意得$|PM|^{2}=|PC|^{2}-r^{2}$。
当$PC\perp l$时，$|PC|$最小，则$|PM|$最小。
因为$|PC|_{\min}=d=\frac{|3\times(-1)+4\times0 - 7|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=2$。
所以$(\sqrt{3})^{2}=2^{2}-r^{2}$，解得$r = 1$。

6. 若圆$(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}=8$关于直线$2ax + by + 6 = 0$对称，则由点$M(a,b)$向圆所作的切线长的最小值为（ ）
A. $\sqrt{10}$
B. $3\sqrt{2}$
C. $\sqrt{26}$
D. $2\sqrt{2}$

答案： A　由圆$(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}=8$关于直线$2ax + by + 6 = 0$对称，得圆心$(-1,2)$在直线$2ax + by + 6 = 0$上，可得$b=a - 3$，点$M(a,b)$到圆心的距离为$\sqrt{(a + 1)^{2}+(b - 2)^{2}}$，则由点$M(a,b)$向圆所作的切线长为$\sqrt{(a + 1)^{2}+(b - 2)^{2}-8}=\sqrt{2(a - 2)^{2}+10}$，当$a = 2$时，所求的切线长取得最小值，为$\sqrt{10}$。

7. 已知实数$x,y$满足方程$y=\sqrt{-x^{2}+4x - 1}$，则$\frac{y}{x}$的最大值为（ ）
A. 0
B. 1
C. $\sqrt{3}$
D. 2

答案：
C　方程$y=\sqrt{-x^{2}+4x - 1}$化为$(x - 2)^{2}+y^{2}=3(y\geqslant0)$，表示的图形是一个半圆，其圆心为$(2,0)$，半径$r=\sqrt{3}$。令$\frac{y}{x}=k$，则$y = kx$，如图所示，当直线与半圆相切时，$\frac{|2k|}{\sqrt{1 + k^{2}}}=\sqrt{3}$，解得$k=\sqrt{3}$（负值舍去），所以$\frac{y}{x}$的最大值为$\sqrt{3}$。

8.（多选）已知点$P$在圆$(x - 5)^{2}+(y - 5)^{2}=16$上，点$A(4,0)$，$B(0,2)$，则（ ）
A. 点$P$到直线$AB$的距离小于10
B. 点$P$到直线$AB$的距离大于2
C. 当$\angle PBA$最小时，$|PB| = 3\sqrt{2}$
D. 当$\angle PBA$最大时，$|PB| = 3\sqrt{2}$

答案：
ACD　设圆$(x - 5)^{2}+(y - 5)^{2}=16$的圆心为$M(5,5)$，由题易得直线$AB$的方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$，即$x + 2y - 4 = 0$，则圆心$M$到直线$AB$的距离$d=\frac{|5+2\times5 - 4|}{\sqrt{5}}=\frac{11}{\sqrt{5}}＞4$，所以直线$AB$与圆$M$外离，所以点$P$到直线$AB$的距离的最大值为$4 + d=4+\frac{11}{\sqrt{5}}＜5+\sqrt{\frac{125}{5}} = 10$，故A正确；易知点$P$到直线$AB$的距离的最小值为$d - 4=\frac{11}{\sqrt{5}}-4＜\sqrt{\frac{125}{5}}-4 = 1$，故B不正确；过点$B$作圆$M$的两条切线，切点分别为$N$，$Q$，如图所示，连接$MB$，$MN$，$MQ$，则当$\angle PBA$最小时，点$P$与$N$重合，$|PB|=\sqrt{|MB|^{2}-|MN|^{2}}=\sqrt{5^{2}+(5 - 2)^{2}-4^{2}}=3\sqrt{2}$，当$\angle PBA$最大时，点$P$与$Q$重合，$|PB|=3\sqrt{2}$，故C、D都正确。

9. 在平面直角坐标系中，以点$(1,0)$为圆心且与直线$mx - y - 2m - 1 = 0(m\in\mathbf{R})$相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________.

答案： $(x - 1)^{2}+y^{2}=2$
解析　$\because$直线$mx - y - 2m - 1 = 0$恒过定点$(2,-1)$，$\therefore$圆心$(1,0)$到直线$mx - y - 2m - 1 = 0$的最大距离为$d=\sqrt{(2 - 1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$。
$\therefore$半径最大为$\sqrt{2}$。
$\therefore$半径最大的圆的标准方程为$(x - 1)^{2}+y^{2}=2$。

10. 已知圆$C:(x - 4)^{2}+(y - 3)^{2}=4$和两点$A(-m,0)$，$B(m,0)(m\gt0)$. 若圆$C$上存在点$M$，使得$AM\perp MB$，则$m$的最小值为__________.

答案： 3
解析　根据题意，点$A(-m,0)$，$B(m,0)(m＞0)$，则$AB$的中点为$(0,0)$，$|AB|=2m$。
则以$AB$的中点为圆心，半径$r=\frac{1}{2}\times|AB|$的圆为$x^{2}+y^{2}=m^{2}$，设该圆为圆$O$。
若圆$C$上存在点$M$，使得$AM\perp MB$，则圆$C$与圆$O$有交点。
必有$|m - 2|\leqslant|OC|\leqslant m + 2$，即$\begin{cases}|m - 2|\leqslant5\\m + 2\geqslant5\end{cases}$。
又由$m＞0$，解得$3\leqslant m\leqslant7$，即$m$的最小值为$3$。

11. 已知圆$C$的方程为$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=5$，点$B$的坐标为$(0,2)$，设$P$，$Q$分别是直线$l:x + y + 2 = 0$和圆$C$上的动点，则$|PB|+|PQ|$的最小值为__________.

答案： $2\sqrt{5}$
解析　由于点$B(0,2)$关于直线$l:x + y + 2 = 0$的对称点为$B'(-4,-2)$，则$|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|\geqslant|B'Q|$。
又$B'$到圆$C$上点$Q$的最短距离为$|B'C|-r=3\sqrt{5}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
所以$|PB|+|PQ|$的最小值为$2\sqrt{5}$。

12. 已知直线$l:x - y = 1$与圆$M:x^{2}+y^{2}-2x + 2y - 1 = 0$相交于$A$，$C$两点，点$B$，$D$分别在圆$M$上运动，且位于直线$AC$两侧，则四边形$ABCD$面积的最大值为__________.

答案：
$\sqrt{30}$
解析　把圆$M:x^{2}+y^{2}-2x + 2y - 1 = 0$化为标准方程为$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=3$，圆心$M(1,-1)$，半径$r=\sqrt{3}$。
直线$l$与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距$d=\frac{|1-(-1)-1|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由勾股定理得弦长$|AC|=2\sqrt{3 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\sqrt{10}$。
又$B$，$D$两点在圆上，并且位于直线$l$的两侧，四边形$ABCD$的面积可以看成是$\triangle ABC$和$\triangle ACD$的面积之和，当$B$，$D$为如图所示位置，即$BD$为弦$AC$的垂直平分线（即为直径）时，两三角形的面积之和最大，即四边形$ABCD$的面积最大，最大面积为$S=\frac{1}{2}|AC|\times|BE|+\frac{1}{2}|AC|\times|DE|=\frac{1}{2}|AC|\times|BD|=\frac{1}{2}\times\sqrt{10}\times2\sqrt{3}=\sqrt{30}$。

13. 已知$M$为圆$C:x^{2}+y^{2}-4x - 14y + 45 = 0$上任意一点，且点$Q(-2,3)$.
(1)求$|MQ|$的最大值和最小值；
(2)若$M(m,n)$，求$\frac{n - 3}{m + 2}$的最大值和最小值.

答案： 解　
(1)由圆$C$的方程$x^{2}+y^{2}-4x - 14y + 45 = 0$化为标准方程得$(x - 2)^{2}+(y - 7)^{2}=8$。
$\therefore$圆心$C$的坐标为$(2,7)$，半径$r = 2\sqrt{2}$。
又$|QC|=\sqrt{(2 + 2)^{2}+(7 - 3)^{2}}=4\sqrt{2}$。
$\therefore|MQ|_{\max}=4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$，$|MQ|_{\min}=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
(2)由题意可知$\frac{n - 3}{m + 2}$表示直线$MQ$的斜率。
设直线$MQ$的方程为$y - 3 = k(x + 2)$，即$kx - y + 2k + 3 = 0$，则$\frac{n - 3}{m + 2}=k$。
由直线$MQ$与圆$C$有交点，得$\frac{|2k - 7+2k + 3|}{\sqrt{1 + k^{2}}}\leqslant2\sqrt{2}$。
可得$2-\sqrt{3}\leqslant k\leqslant2+\sqrt{3}$。
$\therefore\frac{n - 3}{m + 2}$的最大值为$2+\sqrt{3}$，最小值为$2-\sqrt{3}$。