《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1.（2024·河北保定一中月考）已知平面α与平面β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉=$\frac{2\pi }{3}$，则平面α与平面β的夹角的大小为 （ ）
A.$\frac{\pi }{3}$
B.$\frac{2\pi }{3}$
C.$\frac{\pi }{3}$或$\frac{2\pi }{3}$
D.$\frac{\pi }{6}$或$\frac{\pi }{3}$

答案： 因为平面α与平面β相交形成的四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角，所以结合题意知平面α与平面β的夹角为$\frac{\pi}{3}$，故选A.

2.若两异面直线l₁与l₂的方向向量分别为a =（0，4，－3），b =（1，2，0），则直线l₁与l₂夹角的余弦值为 （ ）
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{8\sqrt{5}}{25}$
C.$\frac{4\sqrt{3}}{15}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 设$l_1$，$l_2$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta =|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle|$
$=\frac{|0\times1 + 4\times2+(-3)\times0|}{5\times\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{25}$

3.在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为（0，－1，3），（2，2，4），则这个锐二面角的余弦值为 （ ）
A.$\frac{\sqrt{15}}{6}$
B.$\frac{\sqrt{15}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{15}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{15}}{4}$

答案： A.由$\frac{(0,-1,3)\cdot(2,2,4)}{\sqrt{1 + 9}\times\sqrt{4 + 4 + 16}}=\frac{-2 + 12}{\sqrt{10}\times\sqrt{24}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$，知这个锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{6}$.

4.如图，在正四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为 （ ）

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 以D为坐标原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_1}$的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D - xyz. 设$AB = 1$，则$B(1,1,0)$，$A_1(1,0,2)$，$A(1,0,0)$，$D_1(0,0,2)$，$\therefore\overrightarrow{A_1B}=(0,1,-2)$，$\overrightarrow{AD_1}=(-1,0,2)$，
$\therefore|\cos\langle\overrightarrow{A_1B},\overrightarrow{AD_1}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AD_1}|}{|\overrightarrow{A_1B}||\overrightarrow{AD_1}|}=\frac{|-4|}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$，故异面直线$A_1B$与$AD_1$所成角的余弦值为$\frac{4}{5}$. 故选D.

5.（2023·北京八一学校期中）若直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列说法错误的是 （ ）
A.若a//n，则直线a⊥平面α
B.若a⊥n，则直线a//平面α
C.若cos〈a，n〉=$\frac{1}{2}$，则直线a与平面α所成角的大小为$\frac{\pi }{6}$
D.若cos〈m，n〉=$\frac{1}{2}$，则平面α，β的夹角为$\frac{\pi }{3}$

答案： 对于A选项，若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{n}$，则$\boldsymbol{a}$为平面α的一个法向量，故直线$a\perp$平面α，A正确；对于B选项，若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{n}$，则直线$a//$平面α或直线$a\subset$平面α，B错误；对于C选项，若$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{1}{2}$，则$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\pi}{3}$，则直线$a$与平面α所成角的大小为$\frac{\pi}{6}$，C正确；对于D选项，若$\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{1}{2}$，则$\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\pi}{3}$，则平面α，β的夹角为$\frac{\pi}{3}$，D正确. 故选B.

6.已知点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），则平面ABC与平面Oxy夹角的余弦值为 （ ）
A.1
B.$\frac{2}{7}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{1}{7}$

答案： $\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)$. 设平面ABC的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$. 由$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0$，$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0$，知$\begin{cases}-x + 2y = 0\\-x + 3z = 0\end{cases}$，令$x = 2$，则$y = 1$，$z=\frac{2}{3}$，$\therefore$平面ABC的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(2,1,\frac{2}{3})$. 易知平面Oxy的一个法向量为$\overrightarrow{OC}=(0,0,3)$. 则所求夹角的余弦值为$|\cos\langle\boldsymbol{n},\overrightarrow{OC}\rangle|=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{OC}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{2}{\sqrt{4 + 1+\frac{4}{9}}\times3}=\frac{2}{7}$.

7.如图，在三棱锥P - ABC中，AB⊥BC，AB = BC = $\frac{1}{2}$PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为________．

答案：
$\frac{\sqrt{210}}{30}$
解析　以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设$AB = a$，则$OA = OC=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$OP=\frac{\sqrt{14}}{2}a$，则$O(0,0,0)$，

$D(-\frac{\sqrt{2}}{4}a,0,\frac{\sqrt{14}}{4}a)$，$P(0,0,\frac{\sqrt{14}}{2}a)$，$B(0,\frac{\sqrt{2}}{2}a,0)$，$C(-\frac{\sqrt{2}}{2}a,0,0)$，则$\overrightarrow{OD}=(-\frac{\sqrt{2}}{4}a,0,\frac{\sqrt{14}}{4}a)$，$\overrightarrow{PC}=(-\frac{\sqrt{2}}{2}a,0,-\frac{\sqrt{14}}{2}a)$，$\overrightarrow{BC}=(-\frac{\sqrt{2}}{2}a,-\frac{\sqrt{2}}{2}a,0)$，设平面PBC的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PC}=-\frac{\sqrt{2}}{2}ax-\frac{\sqrt{14}}{2}az = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BC}=-\frac{\sqrt{2}}{2}ax-\frac{\sqrt{2}}{2}ay = 0\end{cases}$，
令$y = 1$，可得平面PBC的法向量为$\boldsymbol{n}=(-1,1,\frac{\sqrt{7}}{7})$，所以$\cos\langle\overrightarrow{OD},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{OD}\cdot\boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{OD}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{210}}{30}$，设直线OD与平面PBC所成的角为$\theta$，则$\sin\theta=\frac{\sqrt{210}}{30}$.

8.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA = 1，则平面ADE与平面BCE的夹角的大小是________．

答案：
$45^{\circ}$
解析　以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则$E(0,0,1)$，

$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，则$\overrightarrow{EB}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{EC}=(1,1,-1)$. 设平面BCE的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{EB}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{EC}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}x - z = 0\\x + y - z = 0\end{cases}$，可取$\boldsymbol{n}=(1,0,1)$. 又平面ADE的一个法向量为$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$，所以$|\cos\langle\boldsymbol{n},\overrightarrow{AB}\rangle|=\left|\frac{1}{\sqrt{2}\times1}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故平面ADE与平面BCE的夹角为$45^{\circ}$.

9.如图，在三棱锥O - ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且2OA = OB = OC = 2，求直线AE与BC所成角的大小.

答案：
解　以O为原点，$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

由$2OA = OB = OC = 2$，知$A(1,0,0)$，$E(0,0,1)$，$B(0,2,0)$，$C(0,0,2)$，
所以$\overrightarrow{AE}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{BC}=(0,-2,2)$，所以$\cos\langle\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BC}\rangle=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AE}|\cdot|\overrightarrow{BC}|}$
$=\frac{1\times2}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}\times\sqrt{(-2)^2 + 2^2}}=\frac{1}{2}$，所以$\langle\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BC}\rangle=\frac{\pi}{3}$，即直线AE与BC所成角的大小为$\frac{\pi}{3}$.