《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 直线$kx + y - 2 - 3k = 0$与圆$x^{2}+y^{2}-4x - 5 = 0$的位置关系是 （ ）
A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 相交或相切

答案： C 直线 $kx + y - 2 - 3k = 0$ 即 $k(x - 3)+(y - 2)=0$，过定点 $(3,2)$，因为圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-4x - 5 = 0$，则 $3^{2}+2^{2}-4\times3 - 5=-4\lt0$，所以点 $(3,2)$ 在圆内，则直线与圆相交. 故选 C.

2.（2023·江苏南通质检）直线$3x + 4y + 5 = 0$与圆$x^{2}+y^{2}=10$相交于$A$，$B$两点，则$AB$的长等于 （ ）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 1

答案： C 因为圆心 $(0,0)$ 到直线 $3x + 4y + 5 = 0$ 的距离为 $d=\frac{5}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=1$，所以 $|AB| = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{10 - 1}=6$. 故选 C.

3.（2023·山东烟台质检）若直线$ax + by - 1 = 0$与圆$C:x^{2}+y^{2}=1$相离，则过点$P(a,b)$的直线与圆$C$的位置关系是 （ ）
A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 不确定

答案： C 因为直线 $ax + by - 1 = 0$ 与圆 $C:x^{2}+y^{2}=1$ 相离，所以圆心 $(0,0)$ 到直线 $ax + by - 1 = 0$ 的距离大于半径，即 $\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\gt1$，所以 $a^{2}+b^{2}\lt1$，故点 $P(a,b)$ 在圆内，所以过点 $P(a,b)$ 的直线与圆 $C$ 相交. 故选 C.

4.（2024·周口期末）已知过点$P(2,2)$且与两坐标轴都有交点的直线$l_{1}$与圆$(x - 1)^{2}+y^{2}=1$相切，则直线$l_{1}$的方程为 （ ）
A. $3x - 4y + 2 = 0$
B. $4x - 3y - 2 = 0$
C. $3x - 4y + 2 = 0$或$x = 2$
D. $4x - 3y - 2 = 0$或$x = 2$

答案： A 由于直线 $l_{1}$ 过点 $P(2,2)$ 且与两坐标轴都有交点，则直线 $l_{1}$ 的斜率存在且不为零，设直线 $l_{1}$ 的方程为 $y - 2=k(x - 2)$，即 $kx - y+2 - 2k = 0$，圆 $(x - 1)^{2}+y^{2}=1$ 的圆心坐标为 $(1,0)$，半径为 1，由题意可得 $\frac{|k + 2 - 2k|}{\sqrt{k^{2}+1}}=1$，解得 $k=\frac{3}{4}$，所以直线 $l_{1}$ 的方程为 $y - 2=\frac{3}{4}(x - 2)$，即 $3x - 4y+2 = 0$. 故选 A.

5. 已知圆$C$的方程为$x^{2}+y^{2}-6x - 8y = 0$，过点$P(1,2)$的直线与圆相交于$A$，$B$两点，当$\angle ACB$最小时，直线$AB$的方程为 （ ）
A. $x - y + 1 = 0$
B. $x - y - 1 = 0$
C. $x + y + 3 = 0$
D. $x + y - 3 = 0$

答案： D 由题意可得圆心 $C(3,4)$，由三角形的大边对大角可知，当 $\angle ACB$ 最小时，弦 $AB$ 最短，所以 $CP\perp AB$，$k_{CP}=\frac{4 - 2}{3 - 1}=1$，则 $k_{AB}=-1$，所以直线 $AB$ 的方程为 $y - 2=-(x - 1)$，即 $x + y - 3 = 0$，故选 D.

6.（多选）过点$(1,4)$且与圆$(x + 1)^{2}+y^{2}=4$相切的直线的方程为 （ ）
A. $x - 1 = 0$
B. $y - 4 = 0$
C. $3x - 4y + 13 = 0$
D. $4x - 3y + 8 = 0$

答案： AC 设切线为 $l$，圆心到切线的距离为 $d$，圆的半径为 $r = 2$.
若 $l$ 的斜率不存在，则直线方程为 $x = 1$，圆心到直线的距离为 $d = 1-(-1)=2=r$，满足题意；
若 $l$ 的斜率存在，设直线方程为 $y - 4=k(x - 1)$，即 $kx - y+4 - k = 0$，
因为直线与圆相切，所以 $d=\frac{|4 - 2k|}{\sqrt{k^{2}+1}}=r = 2$，解得 $k=\frac{3}{4}$，所以直线方程为 $3x - 4y+13 = 0$. 故选 AC.

7. 过点$(3,2)$作圆$(x - 1)^{2}+y^{2}=r^{2}$的切线有且只有一条，则该切线的方程是________（用一般式表示）.

答案： $x + y - 5 = 0$
解析 设切线方程为 $y - 2=k(x - 3)$，因为过点 $(3,2)$ 作圆 $(x - 1)^{2}+y^{2}=r^{2}$ 的切线有且只有一条，则 $(3,2)$ 在圆上，切点与圆心连线的斜率 $k_{1}=\frac{2}{3 - 1}=1$，所以切线的斜率为 $k=-1$，则切线方程为 $y - 2=-1\times(x - 3)$，化简得 $x + y - 5 = 0$.

8. 直线$l$与圆$(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=1$相交于$A$，$B$两点，且$A(0,1)$. 若$\vert AB\vert=\sqrt{2}$，则直线$l$的斜率为________.

答案： $\pm1$
解析 设直线 $l$ 的方程为 $y = kx + 1$，即 $kx - y+1 = 0$，设圆心到直线 $l$ 的距离为 $d$，易知圆的半径 $r = 1$，则 $|AB| = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=\sqrt{2}$，所以 $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由 $d=\frac{|k|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得 $k=\pm1$.

9. 已知直线$l$经过直线$2x - y - 3 = 0$和$4x - 3y - 5 = 0$的交点，且与直线$x + y - 2 = 0$垂直.
（1）求直线$l$的方程；
（2）若圆$C$的圆心为点$(3,0)$，直线$l$被该圆所截得的弦长为$2\sqrt{2}$，求圆$C$的标准方程.

答案： 解
(1) 由已知得 $\begin{cases}2x - y - 3 = 0\\4x - 3y - 5 = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$，$\therefore$ 两直线交点为 $(2,1)$.
设直线 $l$ 的斜率为 $k_{l}$，
$\because$ 直线 $l$ 与直线 $x + y - 2 = 0$ 垂直，$\therefore k_{l}=1$，
又 $\because$ 直线 $l$ 过点 $(2,1)$，
$\therefore$ 直线 $l$ 的方程为 $y - 1=x - 2$，即 $x - y - 1 = 0$.
(2) 设圆的半径为 $r$，依题意，得圆心 $(3,0)$ 到直线 $x - y - 1 = 0$ 的距离为 $\frac{|3 - 1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
则 $r^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}=4$，$\therefore r = 2$，$\therefore$ 圆的标准方程为 $(x - 3)^{2}+y^{2}=4$.