《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1(m ＞ 4)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则椭圆$C$的长轴长为（ ）
A. $\sqrt{6}$
B. 6
C. $2\sqrt{6}$
D. 12

答案： C 由题意可知$\sqrt{\frac{m - 4}{m}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$m = 6$，所以椭圆的长轴长为$2\sqrt{6}$。故选C。

2. (2023·辽宁大连期末)已知椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$，则椭圆上的点$P$到椭圆中心$O$的距离$|OP|$的取值范围为（ ）
A. $[6,10]$
B. $[6,8]$
C. $[8,10]$
D. $[16,20]$

答案： 解法一：设点$P(x_{0},y_{0})$，则$\vert OP\vert=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}$。由椭圆的范围，知$\vert x_{0}\vert\leqslant a = 10$，$\vert y_{0}\vert\leqslant b = 8$。
$\because$点$P$在椭圆上，$\therefore\frac{x_{0}^{2}}{100}+\frac{y_{0}^{2}}{64}=1$，
则$y_{0}^{2}=64-\frac{16}{25}x_{0}^{2}$，
$\therefore\vert OP\vert=\sqrt{\frac{9}{25}x_{0}^{2}+64}$。
$\because0\leqslant x_{0}^{2}\leqslant100$，$\therefore64\leqslant\frac{9}{25}x_{0}^{2}+64\leqslant100$，
即$8\leqslant\vert OP\vert\leqslant10$。
解法二：设$x_{0}=10\cos\theta$，$y_{0}=8\sin\theta$，$\theta\in[0,2\pi)$，则$\vert OP\vert=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=\sqrt{100\cos^{2}\theta + 64\sin^{2}\theta}=\sqrt{64 + 36\cos^{2}\theta}$，因为$\cos^{2}\theta\in[0,1]$，所以$8\leqslant\vert OP\vert\leqslant10$。

3. (2024·福建福州一中月考)椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$与椭圆$\frac{x^{2}}{25 - k}+\frac{y^{2}}{9 - k}=1(k ＜ 9)$的（ ）
A. 长轴长相等
B. 短轴长相等
C. 焦距相等
D. 离心率相等

答案： C 椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的长轴长为$2\times5 = 10$，短轴长为$2\times3 = 6$，焦距为$2\times4 = 8$，离心率为$\frac{4}{5}$。椭圆$\frac{x^{2}}{25 - k}+\frac{y^{2}}{9 - k}=1(k\lt9)$的长轴长为$2\sqrt{25 - k}$，短轴长为$2\sqrt{9 - k}$，焦距为$2\sqrt{(25 - k)-(9 - k)} = 8$，离心率为$\frac{4}{\sqrt{25 - k}}$，所以两个椭圆的焦距相等。故选C。

4. (2023·浙江宁波北仑中学期中)若将一个椭圆绕其中心旋转$90^{\circ}$，所得椭圆短轴两端点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”，则下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ）
A. $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$
B. $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{5}=1$
C. $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$
D. $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{9}=1$

答案： A 对于A，$c^{2}=8 - 4 = 4 = b^{2}$，即$b = c$，是“对偶椭圆”；对于B，$c^{2}=5 - 3 = 2\neq b^{2}$，即$b\neq c$，不是“对偶椭圆”；对于C，$c^{2}=6 - 2 = 4\neq b^{2}$，即$b\neq c$，不是“对偶椭圆”；对于D，$c^{2}=9 - 6 = 3\neq b^{2}$，即$b\neq c$，不是“对偶椭圆”。故选A。

5. 已知椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(9 ＜ b\leqslant18)$，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. $(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$
B. $(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$
C. $(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$
D. $[\frac{\sqrt{2}}{2},1)$

答案： C 椭圆方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(9\lt b\leqslant18)$，则椭圆的长半轴长为$\sqrt{b}\in(3,3\sqrt{2}]$，又短半轴长为3，则离心率$e=\frac{\sqrt{b - 9}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{b - 9}{b}}=\sqrt{1-\frac{9}{b}}$，又$\frac{9}{b}\in[\frac{1}{2},1)$，则$e\in(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$。故选C。

6. $F_1,F_2$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ b ＞ 0)$的左、右焦点，$P$是椭圆上的动点. 若$\triangle PF_1F_2$面积的最大值为8，则椭圆长轴长的最小值为（ ）
A. 32
B. 16
C. 8
D. 4

答案： C 设$\triangle PF_{1}F_{2}$的面积为$S$。由题意可知$S=\frac{1}{2}\vert F_{1}F_{2}\vert\cdot\vert y_{P}\vert=c\cdot\vert y_{P}\vert$，又因为点$P$在椭圆上，所以$0\lt\vert y_{P}\vert\leqslant b$，所以$S_{max}=bc = 8$，所以$a^{2}=b^{2}+c^{2}\geqslant2bc = 16$，$a\geqslant4$，$2a\geqslant8$，当且仅当$b = c = 2\sqrt{2}$时，等号成立，故椭圆长轴长的最小值为8。故选C。

7. 比较椭圆①$x^{2}+9y^{2}=36$与②$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的形状，则________更扁（填序号）.

答案： ①
解析 $x^{2}+9y^{2}=36$化为标准方程为$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{4}=1$，故离心率$e_{1}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$；椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的离心率$e_{2}=\frac{2}{3}$。因为$e_{1}\gt e_{2}$，故①更扁。

8. 已知椭圆的短半轴长为1，离心率$0 ＜ e\leqslant\frac{\sqrt{3}}{2}$，则长轴长的取值范围为________.

答案： $(2,4]$
解析 $\because e=\sqrt{1 - (\frac{b}{a})^{2}}$，$b = 1$，$0\lt e\leqslant\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore\sqrt{1 - (\frac{b}{a})^{2}}\leqslant\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$1\lt a\leqslant2$，$\therefore2\lt2a\leqslant4$，即长轴长的取值范围是$(2,4]$。

9. 在①离心率$e = \frac{1}{2}$；②椭圆$C$过点$(1,\frac{3}{2})$；③$P$为椭圆上一点，且$\triangle PF_1F_2$面积的最大值为$\sqrt{3}$这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并解答.
设椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ b ＞ 0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，已知椭圆$C$的短轴长为$2\sqrt{3}$，________，求椭圆$C$的标准方程.

答案： 解 选①，由题意可得$\begin{cases}2b = 2\sqrt{3}\\\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b=\sqrt{3}\end{cases}$，
所以所求椭圆$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。
选②，由题意可得$\begin{cases}2b = 2\sqrt{3}\\\frac{1}{a^{2}}+\frac{9}{4b^{2}}=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b=\sqrt{3}\end{cases}$，
所以所求椭圆$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。
选③，由题意可得$\begin{cases}a^{2}=b^{2}+c^{2}\\2b = 2\sqrt{3}\\\frac{1}{2}\times2c\times b=\sqrt{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b=\sqrt{3}\end{cases}$，
所以所求椭圆$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。

10. 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1(a ＞ 2)$上一点$P$到它的两个焦点$F_1$（左），$F_2$（右）的距离的和是6.
(1)求椭圆$C$的标准方程和离心率$e$；
(2)若$PF_2\perp x$轴，且$P$在$y$轴上的射影为点$Q$，求点$Q$的坐标.

答案： 解 （1）由已知得$2a = 6$，$b^{2}=4$，$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，
$\therefore a = 3$，$c=\sqrt{5}$，$\therefore e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
椭圆$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$。
（2）由（1）知$F_{2}(\sqrt{5},0)$，
把$x=\sqrt{5}$代入椭圆方程$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$，得$\frac{(\sqrt{5})^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$，
解得$y=\pm\frac{4}{3}$，$\therefore$点$Q$的坐标为$(0,\pm\frac{4}{3})$。