《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10. 已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$与$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}=1$有相同的渐近线，且经过点$M(\sqrt{2},-\sqrt{2})$.
（1）求双曲线$C$的方程；
（2）已知直线$x - y + m = 0$与双曲线$C$交于不同的两点$A,B$，且线段$AB$的中点在圆$x^{2}+y^{2}=20$上，求实数$m$的值.

答案： 解 （1）由题意，设双曲线$C$的方程为$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}=\lambda(\lambda\neq0且\lambda\neq1)$，又因为双曲线$C$过点$M(\sqrt{2},-\sqrt{2})$，所以$\lambda=\frac{2}{4}-\frac{2}{2}=-\frac{1}{2}$，所以双曲线$C$的方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$.
（2）由$\begin{cases}y=x + m\\x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1\end{cases}$得$x^{2}-2mx - m^{2}-2 = 0$，$\Delta＞0$恒成立，设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1 + x_2 = 2m$，$x_1x_2=-2 - m^{2}$，所以$y_1 + y_2 = 4m$，则$AB$的中点坐标为$(m,2m)$，代入圆$x^{2}+y^{2}=20$，得$5m^{2}=20$，所以$m=\pm2$.

11. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别是$F_{1},F_{2}$，过$F_{1}$的直线$l$与双曲线相交于$A,B$两点，则满足$|AB| = 3\sqrt{2}$的直线$l$有（ ）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

答案： C　双曲线$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$，过$F_1$的直线$l$垂直于$x$轴时，$|AB|=\frac{2b^{2}}{a}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$，双曲线两个顶点的距离为$2\sqrt{2}$，$\therefore$满足$|AB| = 3\sqrt{2}$的直线$l$有$3$条，一条是通径所在的直线，另两条与双曲线右支相交.

12. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$，过$F_{2}$的直线交双曲线的右支于$A,B$两点，若$AF_{1}\perp AB$，且$4|AF_{1}| = 3|AB|$，则该双曲线的离心率为（ ）
A. $\frac{\sqrt{10}}{2}$
B. $\sqrt{10}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
D. $\sqrt{5}$

答案：
A 如图，连接$F_1B$，设$|AF_1| = 3x$，则根据$4|AF_1| = 3|AB|$可知，$|AB| = 4x$，因为$AF_1\perp AB$，

所以由勾股定理得$|F_1B| = 5x$，由双曲线定义可知$|AF_1|-|AF_2| = 2a$，$|BF_1|-|BF_2| = 2a$，解得$|AF_2| = 3x - 2a$，$|BF_2| = 5x - 2a$，从而$3x - 2a+5x - 2a = 4x$，解得$x = a$，所以$|AF_1| = 3a$，$|AF_2| = a$，由勾股定理得$9a^{2}+a^{2}=4c^{2}$，从而$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，即该双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{2}$.

13. 已知直线$y=\frac{x}{2}$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是________.

答案： $(\frac{\sqrt{5}}{2},+\infty)$
解析 双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，由题意可知$\frac{b}{a}＞\frac{1}{2}$，$\therefore e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$.

14. 已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的右焦点为$F(2,0)$，一条渐近线的倾斜角为$30^{\circ}$.
（1）求双曲线$C$的方程；
（2）经过点$F$的直线与双曲线的右支交于$A,B$两点，与$y$轴交于点$P$，点$P$关于原点的对称点为点$Q$，求证：$S_{\triangle QAB}＞\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

答案： 解 （1）由题意得$c = 2$，$\frac{b}{a}=\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，解得$a^{2}=3$，$b^{2}=1$，所以双曲线$C$的方程为$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$.
（2）证明：由题意知直线的斜率存在，设直线方程为$y = k(x - 2)$，得$P(0,-2k)$，则$Q(0,2k)$. 设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases}\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1\\y = k(x - 2)\end{cases}$整理可得$(3k^{2}-1)x^{2}-12k^{2}x + 12k^{2}+3 = 0$，则$x_1 + x_2=\frac{12k^{2}}{3k^{2}-1}$，$x_1x_2=\frac{12k^{2}+3}{3k^{2}-1}$，所以$S_{\triangle QAB}=|S_{\triangle QPB}-S_{\triangle QPA}|=\frac{1}{2}|PQ|\cdot|x_1 - x_2|=2|k|\cdot|x_1 - x_2|$，所以$S_{\triangle QAB}^{2}=4k^{2}[(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2]=4k^{2}[(\frac{12k^{2}}{3k^{2}-1})^{2}-\frac{4(12k^{2}+3)}{3k^{2}-1}]=\frac{48k^{2}(k^{2}+1)}{(3k^{2}-1)^{2}}$，因为直线与双曲线右支有两个交点，所以$x_1 + x_2=\frac{12k^{2}}{3k^{2}-1}＞0$，$x_1x_2=\frac{12k^{2}+3}{3k^{2}-1}＞0$，所以$3k^{2}＞1$，设$t = 3k^{2}-1＞0$，则$S_{\triangle QAB}^{2}=48\frac{\frac{t + 1}{3}\cdot(\frac{t + 1}{3}+1)}{t^{2}}=\frac{16}{3}(\frac{4}{t^{2}}+\frac{5}{t}+1)=\frac{64}{3}(\frac{1}{t}+\frac{5}{8})^{2}-3＞\frac{64}{3}\times\frac{25}{64}-3=\frac{16}{3}$，所以$S_{\triangle QAB}＞\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

15.（新定义题）（多选）已知两点$A(-2,0),B(2,0)$，若直线上存在点$P$，使得$|PA|-|PB| = 2$，则称该直线为“定点差直线”，下列直线中，是“定点差直线”的有（ ）
A. $y=x + 1$
B. $y = 3x + 1$
C. $y = 2x + 4$
D. $y=\sqrt{2}x + 3$

答案： AD 因为$|PA|-|PB| = 2＜|AB|$，故$P$点的轨迹为双曲线的右支，其中$a = 1$，$c = 2$，则$b^{2}=c^{2}-a^{2}=4 - 1 = 3$，所以双曲线方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1(x＞0)$，渐近线方程为$y=\pm\sqrt{3}x$，若该直线为“点定差直线”，则该直线与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1(x＞0)$有交点. 直线$y = x + 1$的斜率为$1＜\sqrt{3}$，故与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1(x＞0)$有交点，A正确；直线$y = 3x + 1$的斜率为$3＞\sqrt{3}$，且与$y$轴的交点为$(0,1)$，故与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1(x＞0)$无交点，B错误；直线$y = 2x + 4$的斜率为$2＞\sqrt{3}$，且与$y$轴的交点为$(0,4)$，故与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1(x＞0)$无交点，C错误；直线$y=\sqrt{2}x + 3$的斜率为$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$，故与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1(x＞0)$有交点，D正确.