《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1.（2024·山东烟台一中月考）直线l经过A(-1,3)，B(2,5)两点，那么其斜率k为 （ ）
A. 2
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $-\frac{3}{2}$

答案： B 直线 $l$ 经过 $A(-1,3)$，$B(2,5)$ 两点，则 $k = \frac{5 - 3}{2 - (-1)}=\frac{2}{3}$，故选 B.

2.（2024·安徽六安二中月考）已知直线l的倾斜角为$\alpha$，若$\cos\alpha = -\frac{4}{5}$，则直线l的斜率为 （ ）
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $-\frac{3}{4}$
D. $-\frac{4}{3}$

答案： C $\because0\leqslant\alpha\lt\pi$，$\cos\alpha = -\frac{4}{5}$，$\therefore\sin\alpha = \frac{3}{5}$，$\tan\alpha = -\frac{3}{4}$，故选 C.

3. 如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是 （ ）

A. $l_1$
B. $l_2$
C. $l_3$
D. $l_4$

答案： D 由题图可知，$l_{3}$ 的斜率小于 $0$，$l_{2}$ 的斜率等于 $0$，$l_{1}$，$l_{4}$ 的斜率大于 $0$，又 $l_{4}$ 的倾斜角大于 $l_{1}$ 的倾斜角，所以 $l_{4}$ 的斜率最大，故选 D.

4.（2023·许昌期末）若直线l的斜率$k = -2$，又过一点(3,2)，则直线l经过点 （ ）
A. (0,4)
B. (4,0)
C. (0,-4)
D. (-2,1)

答案： B 对于 A，$k=\frac{2 - 4}{3 - 0}=-\frac{2}{3}\neq - 2$，不符合题意；
对于 B，$k=\frac{2 - 0}{3 - 4}=-2$，符合题意；
对于 C，$k=\frac{2 - (-4)}{3 - 0}=2\neq - 2$，不符合题意；
对于 D，$k=\frac{2 - 1}{3 - (-2)}=\frac{1}{5}\neq - 2$，不符合题意. 故选 B.

5. 直线l经过A(2,1)，B(1,m²)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为 （ ）
A. [0,$\pi$)
B. $[0,\frac{\pi}{4}]\cup[\frac{3\pi}{4},\pi]$
C. $[0,\frac{\pi}{4}]$
D. $[0,\frac{\pi}{4}]\cup(\frac{\pi}{2},\pi)$

答案： D 直线 $l$ 的斜率 $k=\frac{1 - m^{2}}{2 - 1}=1 - m^{2}$，因为 $m\in\mathbf{R}$，所以 $k\in(-\infty,1]$，所以直线 $l$ 的倾斜角的取值范围为 $\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，故选 D.

6. 将直线l向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，回到原来的位置，则此直线的斜率为 （ ）
A. $\frac{5}{4}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $-\frac{5}{4}$
D. $-\frac{4}{5}$

答案： C 设点 $P(a,b)$ 是直线 $l$ 上的任意一点，当直线 $l$ 按题中要求平移后，点 $P$ 也做同样的平移，平移后的坐标为 $(a + 4,b - 5)$，由题意知，这两点都在直线 $l$ 上，$\therefore$ 直线 $l$ 的斜率为 $k=\frac{b - 5 - b}{a + 4 - a}=-\frac{5}{4}$.

7. 若过点P(1 - a,1 + a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，则整数a的一个可能取值为__________.

答案： $-2$（或 $-1$ 或 $0$）
解析 因为过点 $P(1 - a,1 + a)$ 与 $Q(4,2a)$ 的直线的倾斜角是钝角，所以 $\frac{2a-(1 + a)}{4-(1 - a)}=\frac{a - 1}{a + 3}\lt0$，解得 $-3\lt a\lt1$，所以整数 $a$ 的可能取值为 $-2$，$-1$，$0$.

8. 已知交于M(8,6)点的四条直线$l_1$，$l_2$，$l_3$，$l_4$的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知$l_2$过点N(5,3)，则这四条直线的倾斜角从小到大依次为_________________.(用“＜”连接)

答案： $22.5^{\circ}\lt45^{\circ}\lt67.5^{\circ}\lt90^{\circ}$
解析 $l_{2}$ 的斜率为 $\frac{6 - 3}{8 - 5}=1$，所以 $l_{2}$ 的倾斜角为 $45^{\circ}$，由题意可得 $l_{1}$ 的倾斜角为 $22.5^{\circ}$，$l_{3}$ 的倾斜角为 $67.5^{\circ}$，$l_{4}$ 的倾斜角为 $90^{\circ}$.

9. 已知某直线l的倾斜角$\alpha = 45^{\circ}$，又$P_1(2,y_1)$，$P_2(x_2,5)$，$P_3(3,1)$是此直线上的三点，求$x_2$，$y_1$的值.

答案： 解 由 $\alpha = 45^{\circ}$，得直线 $l$ 的斜率 $k = \tan45^{\circ}=1$，
又 $P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$ 都在此直线上，故 $k_{P_{1}P_{2}}=k_{P_{2}P_{3}}=1$，
即 $\frac{5 - y_{1}}{x_{2}-2}=\frac{1 - 5}{3 - x_{2}}=1$，解得 $x_{2}=7$，$y_{1}=0$.