《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10.（1）设坐标平面内三点A(m,-m - 3)，B(2,m - 1)，C(-1,4)，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；
（2）已知直线$l_1$的斜率为$\frac{1}{2}$，直线$l_2$的倾斜角是直线$l_1$倾斜角的2倍，求直线$l_2$的斜率.

答案： 解
(1) 由 $k_{AC}=3k_{BC}$，得 $\frac{4-(-m - 3)}{-1 - m}=3\cdot\frac{4-(m - 1)}{-1 - 2}$，解得 $m = 1$ 或 $m = 2$，
经检验均符合题意，故 $m$ 的值是 $1$ 或 $2$.
(2) 设直线 $l_{1}$ 的倾斜角为 $\alpha$，则直线 $l_{2}$ 的倾斜角为 $2\alpha$.
由已知，$\tan\alpha=\frac{1}{2}$，得直线 $l_{2}$ 的斜率为 $\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}=\frac{4}{3}$.

11.（多选）已知三条直线$l_1$，$l_2$，$l_3$的斜率分别为$k_1$，$k_2$，$k_3$，倾斜角分别为$\alpha$，$\beta$，$\gamma$. 若$\alpha ＜ \beta ＜ \gamma$，则下列关系可能成立的是 （ ）
A. $k_3 ＜ k_1 ＜ k_2$
B. $k_1 ＜ k_2 ＜ k_3$
C. $k_2 ＜ k_3 ＜ k_1$
D. $k_3 ＜ k_2 ＜ k_1$

答案： ABC 根据直线的斜率与倾斜角的关系有：当 $0\leqslant\alpha\lt\beta\lt\gamma\lt\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\beta\lt\gamma\lt\pi$ 时，$0\leqslant k_{1}\lt k_{2}\lt k_{3}$ 或 $k_{1}\lt k_{2}\lt k_{3}\lt0$，故选项 B 可能成立；当 $0\leqslant\alpha\lt\beta\lt\frac{\pi}{2}\lt\gamma\lt\pi$ 时，$k_{3}\lt0\leqslant k_{1}\lt k_{2}$，故选项 A 可能成立；当 $0\leqslant\alpha\lt\frac{\pi}{2}\lt\beta\lt\gamma\lt\pi$ 时，$k_{2}\lt k_{3}\lt0\leqslant k_{1}$，故选项 C 可能成立；选项 D 不可能成立. 故选 ABC.

12. 设A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l过点P(1,2)且与线段AB相交，则l的斜率k存在时，k的取值范围是 （ ）
A. $k\leq -1$或$k\geq 5$
B. $-5\leq k\leq 1$
C. $-1\leq k\leq 5$
D. $k\leq -5$或$k\geq 1$

答案： D 由题意可得 $k_{PA}=\frac{2-(-3)}{1 - 2}=-5$，$k_{PB}=\frac{-2 - 2}{-3 - 1}=1$，因为直线 $l$ 与线段 $AB$ 相交，所以 $k\geqslant1$ 或 $k\leqslant - 5$，故选 D.

13.（2024·江西南昌质检）已知直线l的倾斜角为$\alpha$，斜率为k，若$k\in[-\sqrt{3},1]$，则$\alpha$的取值范围为______________.

答案： $\left\{\alpha\mid0\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}或\frac{2\pi}{3}\leqslant\alpha\lt\pi\right\}$
解析 斜率 $k = \tan\alpha$，且 $\alpha\in[0,\pi)$，当 $k\in[0,1]$ 时，即 $0\leqslant\tan\alpha\leqslant1$，解得 $0\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}$，当 $k\in[-\sqrt{3},0)$ 时，即 $-\sqrt{3}\leqslant\tan\alpha\lt0$，解得 $\frac{2\pi}{3}\leqslant\alpha\lt\pi$，所以 $\alpha$ 的取值范围为 $\left\{\alpha\mid0\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}或\frac{2\pi}{3}\leqslant\alpha\lt\pi\right\}$.

14. 已知A(3,1)，B(2,4)，C(m,2)三点.
（1）若直线BC的倾斜角为135°，求m的值；
（2）是否存在m，使得A，B，C三点共线？若存在，求m的值；若不存在，说明理由.

答案： 解
(1) 因为 $B(2,4)$，$C(m,2)$，直线 $BC$ 的倾斜角为 $135^{\circ}$，
所以 $k_{BC}=\tan135^{\circ}=-1=\frac{4 - 2}{2 - m}$，解得 $m = 4$，
故 $m$ 的值为 $4$.
(2) 当 $A$，$B$，$C$ 三点共线时，$k_{AB}=k_{BC}$，即 $\frac{4 - 1}{2 - 3}=\frac{4 - 2}{2 - m}$，
解得 $m=\frac{8}{3}$，
所以存在 $m$，使得 $A$，$B$，$C$ 三点共线，此时 $m=\frac{8}{3}$.

15.（直观想象）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致. 如图，一座斜拉桥共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列. 已知拉索上端相邻两个锚的间距$\vert P_iP_{i + 1}\vert(i = 1,2,3,\cdots,9)$均为4.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距$\vert A_iA_{i + 1}\vert(i = 1,2,3,\cdots,9)$均为16 m. 最短拉索的两个锚$P_1$，$A_1$满足$\vert OP_1\vert = 57$ m，$\vert OA_1\vert = 86$ m，则最长拉索所在直线的斜率为 （ ）

A. $\pm 0.40$
B. $\pm 0.42$
C. $\pm 0.43$
D. $\pm 0.45$

答案：
B 如图，以 $O$ 为原点建系，
因为最短拉索的两个锚 $P_{1}$，$A_{1}$ 满足 $|OP_{1}| = 57\ m$，$|OA_{1}| = 86\ m$，
且拉索上端相邻两个锚的间距 $|P_{i}P_{i + 1}|(i = 1,2,3,\cdots,9)$ 均为 $4.4\ m$，拉索下端相邻两个锚的间距 $|A_{i}A_{i + 1}|(i = 1,2,3,\cdots,9)$ 均为 $16\ m$，
则 $|OA_{10}| = |OA_{1}|+|A_{1}A_{10}| = 86 + 9\times16 = 230\ m$，即点 $A_{10}(230,0)$，同理 $B_{10}(-230,0)$，
又 $|OP_{10}| = |OP_{1}|+|P_{1}P_{10}| = 57 + 9\times4.4 = 96.6\ m$，即点 $P_{10}(0,96.6)$，

所以 $k_{A_{10}P_{10}}=\frac{96.6 - 0}{0 - 230}=-0.42$，$k_{B_{10}P_{10}}=\frac{96.6 - 0}{0 + 230}=0.42$，
即最长拉索所在直线的斜率为 $\pm0.42$. 故选 B.

16.（开放题）若直线l的倾斜角为$\frac{3\pi}{4}$，则l的一个方向向量$\boldsymbol{d}$可以是________.(只需填写一个)

答案： $(1,-1)$（答案不唯一）
解析 直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{3\pi}{4}$，故直线的斜率 $k = \tan\frac{3\pi}{4}=-1$，故方向向量的横、纵坐标之比为 $-1$，故 $\boldsymbol{d}$ 可以是 $(1,-1)$.