《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10. 如图所示，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$E$，$F$分别是$B_1B$，$D_1B_1$的中点．求证：$EF\perp$平面$B_1AC$．

答案：
10.证明　设正方体的棱长为2,建立
　如图所示的空间直角坐标系，
　则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,
　2),E(2,2,1),F(1,1,2).
　　　　　　　　　　　　　　
∴EF=(1,1,2)−(2,2,1)=
　(−1,−1,1),AB=(2,2,2)−
　(2,0,0)=(0,2,2),AC=(0,2,
　0)|　(2,　　=(−2,2,0).
∵$\frac{(}{EF}$.$\frac{0.0)}{AB}$=(−1,−1,1).(0,2,2)=0−2+2=0,EF.AC=(−1,−1,1).(−2,2,0)=2−2+0=0,
∴EF⊥AB1,EF⊥AC.
　又AB∩AC=A,
∴EF⊥平面B1AC.

11.（2024·安徽蚌埠田家炳中学月考）已知$\overrightarrow{AB}=(1,5,-2)$，$\overrightarrow{BC}=(3,1,z)$，$\overrightarrow{BP}=(x - 1,y,-3)$，若$\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$，且$BP\perp$平面$ABC$，则$\overrightarrow{BP}=$（ ）
A. $(\frac{20}{7},-\frac{15}{7},-3)$
B. $(\frac{40}{7},-\frac{15}{7},-3)$
C. $(\frac{33}{7},\frac{15}{7},-3)$
D. $(\frac{33}{7},-\frac{15}{7},-3)$

答案： 11.D
∵AB=(1,5,−2),BC=(3,1,x),AB⊥BC,
∴AB.BC=8−2x=0,解得x=4,
∴BC=(3,1,4).
∵BP⊥平面ABC,AB,BCC平面ABC,
∴BP⊥AB,
BP⊥BC,
∴{BBPP..BACB==3xx++5yy−+515==00,,
　　　x=$\frac{40}{7}$,
　解得
　
　
∴BP=($\frac{33}{7}$←−$\frac{15}{7}$,−3).故选D.
　　　y=−$\frac{15}{7}$

12.（多选）如图，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$O$是底面$ABCD$的中心，$M$，$N$分别是棱$DD_1$，$D_1C_1$的中点，则直线$OM$（ ）

A. 与$AC$垂直
B. 与$AA_1$垂直
C. 与$MN$垂直
D. 与$AC$，$MN$都不垂直

答案： 12.AC　以D为原点,DA,DC,DD;的方向分别为x轴、y轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a,则M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a),
∴OM=(−a,−a,a),MN=
　(0,a,a),AC=(−2a,2a,0),
∴OM.M忒=0.OM,
AC=0,
∴OM⊥MN,OM⊥AC,故A、C正确,D错误;OM与AA，显然不垂直,故B错误.

13. 如图所示，四棱锥$P - ABCD$的底面$ABCD$是边长为1的正方形，$PD\perp$底面$ABCD$，且$PD = 1$，若点$E$，$F$分别为$PB$，$AD$的中点，则直线$EF$与平面$PBC$的位置关系是_______．

答案：
13.垂直
　解析　如图,以D为原点,DA,DC,DP
　所在直线分别为x轴,y轴,N轴建文空
　间直角坐标系，则B(1,1,0),C(0,1,0),
　　　　　　　　　　　　　　　　 P(0,0,1),E($\frac{1}{2}$'$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$).F($\frac{1}{2}$,0,0),
∴EF=(0,−$\frac{1}{2}$　　$\frac{1}{2}$),PB=(1,1,−1),PC=
　(0,1,−1),设平面PBC的−个法向量为n=(x,y,),则{nn..PPBC==00,,即{xy+−yx=−0z,=0,
　取y=1,则x=1,x=0,
∴n=(0,1,1).
∵EF=−$\frac{1}{2}$n,
∴EF//n,
∴EF⊥平面PBC,

14. 在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$E$，$F$分别是$BB_1$，$CD$的中点．
（1）求证：平面$AED\perp$平面$A_1FD_1$；
（2）在线段$AE$（包括端点）上求一点$M$，使得$A_1M\perp$平面$AED$．

答案：
14.解　
(1)证明:以D为坐标原点，DA,
DC,DD，所在直线分别为x轴、y轴、
　轴,建立如图所示的空间直角坐
　　　　　　　　　　　　　　　　 标系.
　设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),
A(2,0,0),E(2,2,1);F(0,1,0),A1(2,0,2),D(0,0,2),
∴DA=DA=(2,0,0),DE=(2,2,1),DF=(0,1,−2).
　设平面AED的法向量为n1=(x1,y,x1),由{nn..DDEA==00,,得{22xx+=02y,1+x=0,取y　=1,则x=−2,得平面AED的−个法向量为n=(0,1,−2).设平面AFD　的法向量为n=(x,y,z),由n.DA=o,
　{n.DF=0,得|222,=取z=1,则y=2,平面AFD的一个法向量为n=(0,2,1).
∵n1.n=(0,1,−2).(0,2,1)=0,
∴n⊥n,
∴平面AED⊥平面AFD.
(2)
∵点M在线段AE(包括端点)上,
∴可设AM=AE=A(0,2,1)=(0,2X,λ)(0≤x≤1),则M(2,2,x),
∴AM=(0,2x,X−2).
　要使A,M⊥平面AED,，只需A,M///n,即²=$\frac{−2}{−2}$
　解得λ=$\frac{2}{5}$.故当AM=$\frac{2}{5}$AE时,AM⊥平面AED.

15.（直观想象）如图，已知点$E$，$F$分别是正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的棱$AB$，$AA_1$的中点，点$M$，$N$分别是线段$D_1E$，$C_1F$上的点，则与平面$ABCD$垂直的直线$MN$有_______条．

答案：
15.1
　解析　　建立空间直角坐标系如图所
　示，不妨设正方体的棱长为2,则
C(0,0,0),D(2,0.0),B(0,2.0),
　　　　　　　　　　　　　　　　
D,(2,0,2),E(1,2,0),C(0,0,2),
　F(2,2,1).设M(x,y,x),DM=
　mDE(0＜m＜1),则(x−2,y,x−2)=m(−1,2,−2),可得x=2−m,y=2m,x=2−2m,所以M(2−m,2m,2−2m),同理,设CN=nCF(0≤n≤1),可得N(2n,2n,2−n),所以MN=(m+2n−2,2n−2m,2m−　　　　因为　MN⊥平面　ABCD,所以{MMNN.,C$\frac{n).}{CD}$B==00,,又CD=(2,0,0),CB=(0,2,0),所以{m2n+−22nm−=20=,0,解得1m1==$\frac{2}{3}$$\frac{2}{3}$,即满足条件的直线MN 
只有1条