《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 直线$l_1$的方向向量为$v_1=(1,2,3)$，直线$l_2$的方向向量为$v_2=(\lambda,4,6)$，若$l_1// l_2$，则$\lambda =$（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B
∵$l_1// l_2$，
∴$v_1// v_2$，则$\frac{1}{\lambda}=\frac{2}{4}$，
∴$\lambda =2$

2.（多选）若直线$l$的一个方向向量为$d=(6,2,3)$，平面$\alpha$的一个法向量为$n=(-1,3,0)$，则直线$l$与平面$\alpha$的位置关系可能是（ ）
A. 垂直
B. 平行
C. 直线$l$在平面$\alpha$内
D. 不能确定

答案： BC
∵$d\cdot n=-6 + 6 + 0 = 0$，
∴$d\perp n$，
∴直线$l$与平面$\alpha$的位置关系是直线$l$在平面$\alpha$内或平行

3. 若$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{CD}+\mu\overrightarrow{CE}$，则直线$AB$与平面$CDE$的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 直线在平面内
D. 平行或直线在平面内

答案： D　因为$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{CD}+\mu\overrightarrow{CE}$，所以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CE}$共面，则$AB$与平面$CDE$的位置关系是平行或直线在平面内

4. 已知平面$\alpha$内的三点$A(0,0,1)$，$B(0,1,0)$，$C(1,0,0)$，平面$\beta$的一个法向量为$n=(-1,-1,-1)$，且$\beta$与$\alpha$不重合，则（ ）
A. $\alpha//\beta$
B. $\alpha\perp\beta$
C. $\alpha$与$\beta$相交但不垂直
D. 以上都不对

答案： A
∵$\overrightarrow{AB}=(0,1,-1)$，$\overrightarrow{AC}=(1,0,-1)$，$n\cdot\overrightarrow{AB}=(-1)\times0 + (-1)\times1 + (-1)\times(-1)=0$，$n\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)\times1 + (-1)\times0 + (-1)\times(-1)=0$，
∴$n\perp\overrightarrow{AB}$，$n\perp\overrightarrow{AC}$。又$\overrightarrow{AB}\cap\overrightarrow{AC}=A$，
∴$n$是平面$\alpha$的一个法向量。又平面$\alpha$与平面$\beta$不重合，
∴$\alpha//\beta$

5.（多选）若平面$\alpha$，$\beta$的一个法向量分别为$m=(-\frac{1}{6},\frac{1}{3},-1)$，$n=(\frac{1}{2},-1,3)$，则下列结论可能成立的是（ ）
A. $\alpha//\beta$
B. $\alpha$与$\beta$相交但不垂直
C. $\alpha$与$\beta$重合
D. $\alpha\perp\beta$

答案： AC
∵$n=-3m$，
∴$m// n$，
∴$\alpha//\beta$或$\alpha$与$\beta$重合，故选AC

6.（2024·河北衡水武邑中学月考）若$a=(x,2y - 1,-\frac{1}{4})$是平面$\alpha$的一个法向量，且$b=(-1,2,1)$，$c=(3,\frac{1}{2},-2)$与平面$\alpha$都平行，则向量$a=$（ ）
A. $(-\frac{27}{52},-\frac{53}{26},-\frac{1}{4})$
B. $(-\frac{9}{52},-\frac{53}{26},-\frac{1}{4})$
C. $(-\frac{9}{52},\frac{27}{52},-\frac{1}{4})$
D. $(-\frac{9}{52},\frac{1}{26},-\frac{1}{4})$

答案： D　因为$a\cdot b = 0$，$a\cdot c = 0$，所以$-x + 4y - \frac{9}{4} = 0$，$3x + y = 0$，解得$x = -\frac{9}{52}$，$y = \frac{27}{52}$，所以$a = (-\frac{9}{52},\frac{1}{26},-\frac{1}{4})$。故选D

7. 已知两个不同的平面$\alpha$，$\beta$的法向量分别是$n_1=(1,2,2)$和$n_2=(3,6,6)$，则平面$\alpha$，$\beta$的位置关系是________.

答案： $\alpha//\beta$
解析
∵$n_1=(1,2,2)$，$n_2=(3,6,6)$，
∴$n_1=\frac{1}{3}n_2$，
∴$n_1// n_2$。又$n_1$是平面$\alpha$的一个法向量，$n_2$是平面$\beta$的一个法向量，$\alpha$，$\beta$是两个不同的平面，
∴$\alpha//\beta$

8. 已知直线$l//$平面$ABC$，且$l$的一个方向向量为$a=(2,m,1)$，$A(0,0,1)$，$B(1,0,0)$，$C(0,1,0)$，则实数$m=$________.

答案： $-3$
解析
∵$l//$平面$ABC$，
∴存在实数$x$，$y$，使$a = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{AC}=(0,1,-1)$，
∴$(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x - y)$，
$\begin{cases}2 = x\\m = y\\1 = -x - y\end{cases}$，
∴$m = -3$

9. 如图，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，棱长为2，$M$，$N$分别为$A_1B$，$AC$的中点. 求证：$MN// B_1C$.

答案： 证明　如图，以点$D$为原点，$DA$，$DC$，$DD_1$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系，则$C(0,2,0)$，$B_1(2,2,2)$，$M(2,1,1)$，$N(1,1,0)$，所以$\overrightarrow{MN}=(-1,0,-1)$，$\overrightarrow{B_1C}=(-2,0,-2)$，所以$\overrightarrow{B_1C}=2\overrightarrow{MN}$。所以$\overrightarrow{B_1C}//\overrightarrow{MN}$，所以$MN// B_1C$