《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10.在①被x轴，y轴所截得的弦长均为4√6，且圆C的圆心位于第四象限，②与直线4x - 3y + 18 = 0相切于点B(－3，2)，③过点B(－2，－5)，且圆心在直线x + y = 0上这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知圆C过点A(－2，3)，________，求圆C的标准方程.

答案： 解 若选①.
设圆$C:(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}(a\gt0,b\lt0)$，
由题意可知$\begin{cases}(-2 - a)^{2}+(3 - b)^{2}=r^{2}\\|a| = |b|\\a^{2}+24 = r^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b=-1\\r = 5\end{cases}$。
因此，圆$C$的标准方程为$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=25$。
若选②.
由题意知圆心必在过切点$B(-3,2)$且垂直于切线$4x - 3y+18 = 0$的直线上，
可求得此直线方程为$3x + 4y+1 = 0$。
直线$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{3 - 2}{-2 + 3}=1$，线段$AB$中点的坐标为$(-\frac{5}{2},\frac{5}{2})$，则线段$AB$的垂直平分线方程为$y-\frac{5}{2}=-(x+\frac{5}{2})$，即$y=-x$。
可知圆心必在线段$AB$的垂直平分线$y=-x$上，
联立$\begin{cases}y=-x\\3x + 4y+1 = 0\end{cases}$，可求得圆心$C(1,-1)$，则$r = |BC|=\sqrt{(-3 - 1)^{2}+(2 + 1)^{2}}=5$，
因此，圆$C$的标准方程为$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=25$。
若选③.
由题意知圆心必在线段$AB$的垂直平分线上，易知线段$AB$的垂直平分线方程为$y=-1$。将直线$y + 1 = 0$与直线$x + y = 0$联立，可得圆心坐标$C(1,-1)$。
则$r = |BC|=\sqrt{(-2 - 1)^{2}+(-5 + 1)^{2}}=5$，
因此，圆$C$的标准方程为$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=25$。

11.已知直线(3 + 2λ)x + (3λ - 2)y + 5 - λ = 0恒过定点P，则与圆C:(x - 2)² + (y + 3)² = 16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A.(x - 2)² + (y + 3)² = 36
B.(x - 2)² + (y + 3)² = 25
C.(x - 2)² + (y + 3)² = 18
D.(x - 2)² + (y + 3)² = 9

答案： B 由$(3 + 2\lambda)x+(3\lambda - 2)y+5-\lambda = 0$，得$(2x + 3y - 1)\lambda+(3x - 2y+5)=0$，
由$\begin{cases}2x + 3y - 1 = 0\\3x - 2y+5 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y = 1\end{cases}$，即定点$P(-1,1)$。
$\because$圆$C:(x - 2)^{2}+(y + 3)^{2}=16$的圆心坐标是$(2,-3)$，
$\therefore|PC|=\sqrt{(-1 - 2)^{2}+(1 + 3)^{2}}=5$，
$\therefore$所求圆的标准方程为$(x - 2)^{2}+(y + 3)^{2}=25$，故选B。

12.（多选）（2023·福建永安质检）设圆的方程是(x - a)² + (y + b)² = a² + b²，其中a ＞ 0，b ＞ 0，则下列说法中正确的是（ ）
A.该圆的圆心为(a，b)
B.该圆过原点
C.该圆与x轴相交于两个不同点
D.该圆的半径为a² + b²

答案： BC 由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为$(a,-b)$，半径为$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，所以选项A、D不正确；
因为$(0 - a)^{2}+(0 + b)^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以该圆过原点，所以选项B正确；
在圆的方程$(x - a)^{2}+(y + b)^{2}=a^{2}+b^{2}$中，令$y = 0$，有$(x - a)^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2}$，解得$x = 2a$或$x = 0$，因为$a\gt0$，所以该圆与$x$轴相交于两个不同点，所以选项C正确。故选BC。

13.等腰三角形ABC底边上的高等于4，底边两端点的坐标分别是B(－3，0)和C(3，0)，则它的外接圆的方程为______________________.

答案：
$x^{2}+(y-\frac{7}{8})^{2}=\frac{625}{64}$或$x^{2}+(y+\frac{7}{8})^{2}=\frac{625}{64}$
解析 ①当点$A$的坐标是$(0,4)$时（如图1），$k_{AB}=\frac{4}{3}$，线段$AB$的中点坐标是$(-\frac{3}{2},2)$，线段$AB$的垂直平分线的方程是$y - 2=-\frac{3}{4}(x+\frac{3}{2})$，即$y=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{8}$。令$x = 0$，则$y=\frac{7}{8}$，所以圆心的坐标是$(0,\frac{7}{8})$，半径长为$4-\frac{7}{8}=\frac{25}{8}$，此时所求外接圆的方程是$x^{2}+(y-\frac{7}{8})^{2}=\frac{625}{64}$。
　　　　　
②当点$A$的坐标是$(0,-4)$时（如图2），$k_{AB}=-\frac{4}{3}$，线段$AB$的中点坐标是$(-\frac{3}{2},-2)$，线段$AB$的垂直平分线的方程是$y + 2=\frac{3}{4}(x+\frac{3}{2})$，即$y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{8}$。
令$x = 0$，则$y=-\frac{7}{8}$，所以圆心的坐标是$(0,-\frac{7}{8})$，半径长为$4-\frac{7}{8}=\frac{25}{8}$，此时所求外接圆的方程是$x^{2}+(y+\frac{7}{8})^{2}=\frac{625}{64}$。
　　　　　
综上，所求外接圆的方程是$x^{2}+(y-\frac{7}{8})^{2}=\frac{625}{64}$或$x^{2}+(y+\frac{7}{8})^{2}=\frac{625}{64}$。

14.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l:x - 2y = 0的距离最小时的圆的方程.

答案： 解 设圆心为$(a,b)$，半径为$r$，
依题意，得$\begin{cases}\sqrt{2}|b| = r\\a^{2}+1 = r^{2}\end{cases}$，消去$r$，得$2b^{2}-a^{2}=1$，①
圆心到直线$l$的距离$d=\frac{|a - 2b|}{\sqrt{5}}$。
设$a - 2b = k$，则$a = 2b + k$，代入①式，整理得$2b^{2}+4kb + k^{2}+1 = 0$。
判别式$\Delta = 8(k^{2}-1)\geqslant0$，解得$|k|\geqslant1$，
当$|k| = 1$时，$d_{\min}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
当$k = 1$时，$a = b=-1$，圆的方程为$(x + 1)^{2}+(y + 1)^{2}=2$。
当$k=-1$时，$a = b = 1$，圆的方程为$(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=2$。

15.（直观想象）（多选）设有一组圆Cₖ:(x - k)² + (y - k)² = 4(k∈R)，下列命题正确的是（ ）
A.不论k如何变化，圆心C始终在同一条直线上
B.所有圆Cₖ均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Cₖ有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π

答案： ABD 圆心坐标为$(k,k)$，在直线$y = x$上，A正确；
由$(3 - k)^{2}+(0 - k)^{2}=4$，化简得$2k^{2}-6k + 5 = 0$，
$\because\Delta = 36 - 40=-4\lt0$，$\therefore2k^{2}-6k + 5 = 0$无实数根，B正确；
由$(2 - k)^{2}+(2 - k)^{2}=4$，化简得$k^{2}-4k + 2 = 0$，
$\because\Delta = 16 - 8 = 8\gt0$，$\therefore$方程有两个不等实根，$\therefore$经过点$(2,2)$的圆$C_{k}$有两个，C错误；
由圆的半径为$2$，得圆的面积为$4\pi$，D正确。故选ABD。

16.（直观想象）已知圆O:x² + y² = 1，A(3，3)，点P在直线l:x - y = 2上运动，则|PA| + |PO|的最小值为_______.

答案：
$\sqrt{26}$
解析 易知点$A$与点$O$在直线$l:x - y = 2$的同侧，如图所示，设点$O$关于直线$l:x - y = 2$的对称点为$O'(x',y')$，
　　　　　　　　　　　　　　　
$\therefore k_{OO'}=-1$，$OO'$所在的直线方程为$y=-x$，联立$\begin{cases}y=-x\\x - y = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y=-1\end{cases}$，即$OO'$的中点为$(1,-1)$，
$\therefore O'(2,-2)$，则$|PA|+|PO| = |PA|+|PO'|\geqslant|AO'|=\sqrt{(3 - 2)^{2}+(3 + 2)^{2}}=\sqrt{26}$。