《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 动点P到点M(1,0)及点N(5,0)的距离之差为2a，则当a = 1和a = 2时，点P的轨迹分别是（ ）
A. 双曲线和一条直线
B. 双曲线和一条射线
C. 双曲线的一支和一条射线
D. 双曲线的一支和一条直线

答案： 由题意,知|MN|=4,当a=1时,|PM|−|PN|=2a=2＜4,此时点P的轨迹是双曲线的一支;当a=2 时,|PM|−|PN|=2a=4=|MN|,此时点P的轨迹是以N为端点沿x轴向右的一条射线.故选C;

2. P是双曲线x² - y² = 16左支上一点，F₁，F₂分别是左、右焦点，则|PF₁| - |PF₂| =（ ）
A. 4
B. -4
C. 8
D. -8

答案： 双曲线方程x²−y²=16化为标准方程为$\frac{x^{2}}{16}$−$\frac{y^{2}}{16}$=1,即a=4,
∴|PF₁|−|PF₂|=2a=8,而点P在双曲线左支上,于是|PF₁|＜|PF₂|,
∴|PF₁|−|PF₂|=−8.故选D.

3. 与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$共焦点且过点P(2,1)的双曲线的标准方程是（ ）
A. $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$
B. $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$
C. $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$
D. $x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$

答案： 由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=$\sqrt{3}$,设双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}$−$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1(a＞0,b＞0),则有a²+b²=c²=3,$\frac{4}{a^{2}}$−$\frac{1}{b^{2}}$=1,解得a²=2,b²=1,故所求双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{2}$−y²=1.

4.（多选）关于x，y的方程$\frac{x^{2}}{m^{2}+2}+\frac{y^{2}}{4 - m^{2}}=1$（其中m²≠4）表示的曲线可能是（ ）
A. 焦点在y轴上的双曲线
B. 圆心为坐标原点的圆
C. 焦点在x轴上的双曲线
D. 长轴长为2$\sqrt{6}$的椭圆

答案： 对于A,若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则m²+2＜0,无解,选项A错误;对于B,若曲线表示圆心为坐标原点的圆,则m²+2=4−m²,解得m=±1,选项B正确;对于C,若曲线表示焦点在x轴上的双曲线，则4−m²＜0,所以m＞2或m＜−2,选项C正确;对于D,若曲线表示长轴长为2$\sqrt{6}$的椭圆,则$\begin{cases}4 - m^{2}＞0\\m^{2}+2＞4 - m^{2}\\2\sqrt{6}=2\sqrt{m^{2}+2}\end{cases}$或$\begin{cases}4 - m^{2}＞0\\m^{2}+2＜4 - m^{2}\\2\sqrt{6}=2\sqrt{4 - m^{2}}\end{cases}$，无解，选项D错误.故选BC.

5. 已知F₁，F₂分别为双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的左、右焦点，M为双曲线右支上一点，满足MF₁⊥MF₂，则△F₁MF₂的面积为（ ）
A. 5
B. 10
C. $\sqrt{14}$
D. 2$\sqrt{14}$

答案： 设双曲线的焦距为2c,则c²=4+5=9.因为MF₁⊥MF₂,所以M为圆x²+y²=9与双曲线的交点.联立$\begin{cases}x^{2}+y^{2}=9\\\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1\end{cases}$,解得y=±$\frac{5}{3}$,所以△F₁MF₂的面积为$\frac{1}{2}$×6×$\frac{5}{3}$=5.故选A.

6.（2024·山东烟台期末）已知点P是双曲线C：$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线C的左、右焦点，若△PF₁F₂的周长为16，点O为坐标原点，则$\overrightarrow{PO}\cdot\overrightarrow{F_{1}F_{2}}$ =（ ）
A. 20
B. -20
C. 40
D. -40

答案： 由双曲线方程知c=3,则|F₁F₂|=2c=6,因为△PF₁F₂的周长为16,所以|PF₁|+|PF₂|=10,因为|PF₁|−|PF₂|=2a=4,所以|PF₁|=7,|PF₂|=3,所以$\overrightarrow{PO}\cdot\overrightarrow{F_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PF_{1}}+\overrightarrow{PF_{2}})\cdot(\overrightarrow{PF_{2}}-\overrightarrow{PF_{1}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PF_{2}}^{2}-\overrightarrow{PF_{1}}^{2})=\frac{1}{2}\times(3^{2}-7^{2})=-20$.故选B.

7. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{a - 3}+\frac{y^{2}}{2 - a}=1$，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于_______.

答案： 根据题意可知，双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{2 - a}-\frac{x^{2}}{3 - a}=1$.由其焦距为4,得c=2,则有c²=2−a+3−a=4,解得a=$\frac{1}{2}$.

8. 已知圆x² + y² - 4x - 9 = 0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为____________.

答案： 在圆的方程x²+y²−4x−9=0中,令x=0,得y²−9=0,y=±3,
∴圆与y轴的交点坐标为(0,3),(0,−3),
∵圆与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上，
∴双曲线的焦点在y轴上,且a=3,又
∵A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，
∴2a=$\frac{2c}{3}$,c=9,即有b²=72,
∴此双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{9}$−$\frac{x^{2}}{72}$=1.

9. 在①C的焦距为6，②C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
问题：已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{2m}=1$，________，求C的方程.

答案： 解　若选择条件①,
∵焦距为6,
∴2c=6,即c=3,若m＞0,则m+2m=9,解得m=3,若m＜0,则(−m)+(−2m)=9,解得m=−3,
∴双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{3}$−$\frac{y^{2}}{6}$=1或$\frac{y^{2}}{6}$−$\frac{x^{2}}{3}$=1.若选择条件②，
∵C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4,
∴2a=4,a=2,若m＞0,则$\sqrt{m}$=2,即m=4;若m＜0,则$\sqrt{−2m}$=2,即m=−2,
∴双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{4}$−$\frac{y^{2}}{8}$=1或$\frac{y^{2}}{4}$−$\frac{x^{2}}{2}$=1.