《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1.（2024·浙江温州中学月考）设空间四点O，A，B，P满足$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，其中$m + n = 1$，则 （ ）
A. 点P一定在直线AB上
B. 点P一定不在直线AB上
C. 点P不一定在直线AB上
D. 以上都不对

答案： 1.A　由m+n=1得m=1　　　结合题意知　OP=(1−n).OA+nOB=OA+n($\frac{n,}{OB}$−ōA),即$\frac{O}{OP}$−OA=　n(OB−OA),AP=nAB,据此可知A,P,B三点共线,则点P一定在直线AB上.故选A.

2.（多选）下列命题中是真命题的是 （ ）
A. 直线l的方向向量有无穷多个
B. 若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反
C. 若向量$\boldsymbol{a}$是直线l的一个方向向量，则向量$k\boldsymbol{a}$也是直线l的一个方向向量
D. 平面$\alpha$的法向量有无穷多个

答案： 2.ABD　由直线的方向向量的定义易知A、B正确;当k=　0时,结论不成立，故C错误;由平面的法向量的定义易知D正确.故选ABD.

3.（2023·许昌期末）在空间直角坐标系内，平面$\alpha$经过三点$A(1,0,2)$，$B(0,1,0)$，$C(-2,1,1)$，向量$\boldsymbol{n}=(1,\lambda,\mu )$是平面$\alpha$的一个法向量，则$\lambda +\mu =$ （ ）
A. -7
B. -5
C. 5
D. 7

答案： 3.D　由题意知,AB=(−1,1,−2),BC=(−2,0,1),　n.AB=−1+λ−2u=0,n.BC=−2+μ=0,可得μ=2,λ=5,故λ+μ=7,故选D.

4.（多选）已知平面$\alpha =\{P|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{P_{0}P}=0\}$，其中点$P_{0}(1,2,3)$，法向量$\boldsymbol{n}=(1,1,1)$，则下列各点中在平面$\alpha$内的是 （ ）
A. $P(3,2,1)$
B. $P(-2,5,4)$
C. $P(-3,4,5)$
D. $P(2,-4,8)$

答案： 4.ACD　对于A,PP=(2,0,−2),n.PP=1×2+1×0+1×(−2)=0,故A正确;对于B,P。P=(−3,，3,1),n.P。P=1×(−3)+1×3+1×1=1≠0,故B不正确;对于C,P。P=(−4,2,2),n.P。P=1×(−4)+1×2+1×2=0,故C正确;对于D,P。P=(1,−6,5),n.PP=1×1+1×(−6)+1×5=0,故D正确.故选ACD.

5. 在菱形ABCD中，若$\overrightarrow{PA}$是平面ABCD的法向量，则以下结论中不成立的是 （ ）
A. $AB\perp PA$
B. $AB\perp PC$
C. $BD\perp PC$
D. $CD\perp PA$

答案： 5.B
　
∵PA是平面ABCD的法向量，
∴PA⊥平面ABCD.又ABC平面ABCD,CDC平面ABCD,
∴AB⊥PA,CD⊥PA,选项A和D显然成立;同理PA⊥BD,又
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,又
∵AC∩PA=A,
∴BD⊥平面PAC,
∵PCC平面PAC,
∴BD⊥PC，故选项C成立，不成立的只有选项B.故选B.

6. 已知$\overrightarrow{AB}=(2,2,1)$，$\overrightarrow{AC}=(4,5,3)$，则平面ABC的一个单位法向量为 （ ）
A. $(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$
B. $(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$
C. $(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$
D. $(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$

答案： 6.B　设平面ABC的法向量为n=(x,y,N),　则有{42xx++25yy++x3x==00,.取x=1,则y=−2,x=2.　所以n=(1,−2,2).因为|n|=3,所以平面ABC的一个单位法向量可以是($\frac{1}{3}$,二$\frac{2}{3}$,$\frac{2}{3}$)或(−$\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}$,−$\frac{2}{3}$),故选B.

7. 已知平面$\alpha$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(3,1,2)$，点$A(2,-1,2)$为平面$\alpha$内的一个点，则点$P(1,-1,1)$与平面$\alpha$的关系为 __________；点$Q(1,3,\frac{3}{2})$与平面$\alpha$的关系为 __________.

答案： 7.Pα　Q∈a 　解析
∵PA=(1,0,1),PA.n=(1,0,1).(3,1,2)=　5≠0,
∴P不在平面α内;又QA=(1,−4，,$\frac{1}{2}$),则QA.n=(1,−4,$\frac{1}{2}$).(3,1,2)=0,
∴Q在平面α内.

8. 已知空间直角坐标系$Oxyz$中的点$A(1,1,1)$，平面$\alpha$过点$A$并且与直线$OA$垂直，动点$P(x,y,z)$是平面$\alpha$内的任一点，则直线$OA$的一个方向向量为 __________，点$P$的坐标满足的条件为 __________.

答案： 8.(1,1,1)(答案不唯一)　x+y+x=3 　解析　由题意知，直线OA的一个方向向量为OA=(1,1,1).因为A,P∈α,OA⊥α,所以OA⊥AP,所以(1';1,1).(x−1,y−1,x−1)=0,所以x+y+x=3.

9. 如图，在三棱台$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AB = 2A_{1}B_{1}$，$B_{1}D = 2DC_{1}$，$CE = EC_{1}$，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$，以$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$为空间的一个基底，求直线$AD$，$AE$的一个方向向量.

答案： 9.解　因为AB=2A1B,所以AC=2AC,BC=2BC1,AD=AA+A,C+CD 　=AA+AC+$\frac{1}{3}$C,B 　=AA+$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{3}${$\frac{1}{2}$AB−$\frac{1}{2}$AC)　=$\frac{1}{6}$AB+$\frac{1}{3}$AC+AA,　=$\frac{1}{6}$a+$\frac{1}{3}$b+c,　所以直线AD的一个方向向量是$\frac{1}{6}$a+$\frac{1}{3}$b+c.　AE=AC+CE=AC+$\frac{1}{2}$CC=AC+$\frac{1}{2}$(CA+AA+$\frac{1}{2}$AC)=$\frac{3}{4}$AC+$\frac{1}{2}$AA=$\frac{3}{4}$b+$\frac{1}{2}$c,　所以直线AE的一个方向向量是$\frac{3}{4}$b+$\frac{1}{2}$c.