《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10. 设$\triangle ABC$的顶点坐标是$A(0,a)$，$B(-\sqrt{3}a,0)$，$C(\sqrt{3}a,0)$，其中$a＞0$，圆$M$为$\triangle ABC$的外接圆.
（1）求圆$M$的方程；
（2）当$a$变化时，圆$M$是否过某一定点？请说明理由.

答案： 10.解　
(1)设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0.
∵圆M过点A(0,a),B(一$\sqrt{3a}$,0),C( $\sqrt{3a}$,0),
∴$\begin{cases}a²+aE+F=0\\3a−\sqrt{3a}D+F=0\\3a+\sqrt{3a}D+F=0\end{cases}$，解得D=0,E=3−a,F=−3a,
∴圆M的方程为x²+y²+(3−a)y−3a=0.
(2)圆M的方程可化为(3+y)a−(x²+y²+3y)=0.由$\begin{cases}3+y=0\\x²+y²+3y=0\end{cases}$，解得x=0,y=−3.
∴圆M过定点(0,−3).

11. 已知$CD$为圆$A:(x + 1)^{2}+(y + 1)^{2}=4$的一条弦，且以$CD$为直径的圆始终经过原点$O$，则$CD$中点$B$的轨迹方程为 （ ）
A. $x^{2}+y^{2}=1$
B. $x^{2}+y^{2}+x + y - 1=0$
C. $x^{2}+y^{2}+x - 1=0$
D. $x^{2}+y^{2}+x + y=0$

答案： 11.B　由题意可得AB⊥CD,如图,连接AC,OB,易知AC=2,则4=AB²+($\frac{1}{2}$CD)²=AB²+OB²,由圆A:(x+1)²+(y+1)²=4可知A(−1,−1).设B(x,y),则(x+1)²+(y+1)²+x²+y²=4,化简得x²+y²²+x+y−1=0,即点B的轨迹方程为x²+y²+x+y−1=0.

12. 圆$x^{2}+y^{2}+4x - 12y + 1=0$关于直线$ax - by + 6=0(a＞0,b＞0)$对称，则$\frac{2}{a}+\frac{6}{b}$的最小值是 （ ）
A. $2\sqrt{3}$
B. $\frac{20}{3}$
C. $\frac{32}{3}$
D. $\frac{16}{3}$

答案： 12.C　由圆x²+y²+4x−12y+1=0知,其标准方程为(x+2)²+(y−6)²=39.
∵圆x²+y²+4.x−12y+1=0 关于直线a.r−by+6=0(a＞0,b＞0)对称,
∴该直线经过圆心(−2,6),即−2a−6b+6=0,
∴a+3b=3(a＞0,b＞0),
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{6}{b}$=$\frac{2}{3}$(a+3b).($\frac{1}{a}$+$\frac{3}{6}$)=$\frac{2}{3}$(1+$\frac{3a}{b}$+$\frac{36}{a}$+9)≥$\frac{2}{3}$(110+2$\sqrt{\frac{3a}{6}.\frac{36}{a}}$)=$\frac{32}{3}$,当且仅当$\frac{36}{a}$=$\frac{3a}{b}$,即a=b=$\frac{3}{4}$时取等号,故选C.

13.（2023·金华质检）已知圆$x^{2}+y^{2}=4$关于直线$l$对称的圆是$x^{2}+y^{2}-6x + 2y + m=0$，则直线$l$的方程为___________.

答案： 13.3x−y−5=0
解析　易知两圆半径相等，则$\frac{√(−6)²+2²−4m}{2}$=2,得m=6,由题意知,圆x²+y²=4的圆心坐标为O(0,0),圆x²+y²−6.x+2y+6=0的标准方程为(x−3)²+(y+1)²=4,可得圆心A(3,−1),则OA的中点坐标为($\frac{3}{2}$,−$\frac{1}{2}$),且OA的斜率为kOA=−$\frac{1}{3}$,可得所求直线的斜率为k=3,所以直线l的方程为y−(−$\frac{1}{2}$)=3(x−$\frac{3}{2}$),即3x−y−5=0.

14. 已知方程$x^{2}+y^{2}-2(t + 3)x + 2(1 - 4t^{2})y + 16t^{4}+9=0$表示一个圆.
（1）求$t$的取值范围；
（2）求圆的圆心和半径；
（3）求该圆的半径$r$的最大值及此时圆的标准方程.

答案： 14.解　
(1)由圆的−般方程x²+y²−2(t+3)x+2(1−4t²)y+16t²+9=0,得[−2(t+3)]²+[2(1−4t²)]²²−4(16t⁴+9)＞0,即−7t²+6t+1＞0,解得−$\frac{1}{7}$＜t＜1.
∴t的取值范围是(-$\frac{1}{7}$,1).
(2)圆心为(-$\frac{−2(t+3)}{2}$,$\frac{2(1−4t²)}{2}$),即圆心为(t+3,4t²−1),半径为$\sqrt{−7t²+6t+1}$
(3)r=$\sqrt{−7t²+6t+1}$,
∴当t=$\frac{3}{7}$时,rm.x=$\frac{4√7}{7}$,此吋圆心坐标为($\frac{24}{7}$,−$\frac{13}{49}$),故圆的标准方程为(x一$\frac{24}{7}$)²²+(y+$\frac{13}{49}$2=$\frac{16}{7}$.

15.（易错题）若点$A(a,a)$在圆$x^{2}+y^{2}-2ax + a^{2}+2a - 3=0$外，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. $(-\infty,-3)$
B. $(-3,1)$
C. $(-\infty,-3)\cup\left(1,\frac{3}{2}\right)$
D. $(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$

答案： 15.C　由圆的一般方程可得圆心P的坐标为(a,0),半径r=$\sqrt{3−2a}$,则3−2a＞0,即a＜$\frac{3}{2}$.根据题意，点A(a,a)在圆x²+y²−2ax+a²+2a−3=0外,即|AP|=$\sqrt{(a−a)²+(a−0)²}$＞r=$\sqrt{3−2a}$,则有a²＞3−2a,整理可得a²+2a−3＞0,即(a+3)(a−1)＞0,解得a＜−3或a＞1,又a＜$\frac{3}{2}$,可得a＜−3或1＜a＜$\frac{3}{2}$,则实数α的取值范围是(−∞o,−3)U(1,$\frac{3}{2}$).故选C.

16.（逻辑推理）若曲线$C:x^{2}+y^{2}-2ax + 4ay + 5a^{2}-16=0$上所有的点均在第二象限内，则$a$的取值范围是________.

答案： 16.(−00,−4)
解析　曲线C;x²+y²−2ax+4ay+5a²−16=0,即(x一a)²+(y+2a)²=16表示圆,圆心是(a,−2a),半径为r=4.故圆上任一点(x,y)满足a−4≤x≤a+4,−2a−4≤y≤−2a+4,又因为任一点(x,y)均在第二象限内,所以a+4＜0且−2a−4＞0,解得a＜−4.