《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10.（2023·洛阳联考）某团队在O点西侧、东侧20千米处设有A，B两站点，测量距离发现一点P满足|PA| - |PB| = 20千米，可知P在以A，B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线的标准方程和P点坐标.

答案： 解　由题易知a=10,c=20,所以b²=300,双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{100}$−$\frac{y^{2}}{300}$=1.易知直线OP:y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x,联立$\begin{cases}\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{300}=1\\y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\end{cases}$,解得x=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$,y=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$,所以P($\frac{15\sqrt{2}}{2}$,$\frac{5\sqrt{6}}{2}$).

11. 设椭圆$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$和双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的公共焦点为F₁，F₂，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F₁PF₂等于（ ）
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{9}$
D. $\frac{3}{5}$

答案： 设|PF₁|=d₁,|PF₂|=d₂,则d₁+d₂=2$\sqrt{6}$ ①，|d₁−d₂|=2$\sqrt{3}$ ②，①²+②²,得d₁²+d₂²=18.①²−②²,得2d₁d₂=6.而c=2,
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4c^{2}}{2d_{1}d_{2}}$=$\frac{18−16}{6}$=$\frac{1}{3}$.

12. 已知P为双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF₁F₂的内心. 若$S_{\triangle PMF_{1}}=S_{\triangle PMF_{2}}+8$，则△MF₁F₂的面积为（ ）
A. 2$\sqrt{7}$
B. 10
C. 8
D. 6

答案： 设△PF₁F₂内切圆的半径为R,由双曲线的标准方程可知a=4,b=3,c=5.因为S△PMF₁=S△PMF₂+8,所以$\frac{1}{2}$(|PF₁|−|PF₂|)R=8,即aR=8,所以R=2,所以S△MF₁F₂=$\frac{1}{2}$·2c·R=10.故选B.

13.（2024·保定三中月考）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是双曲线右支上一点，以PF₁为直径的圆E：$x^{2}+(y - \frac{1}{2})^{2}=\frac{49}{4}$过点F₂，则双曲线的标准方程为____________.

答案： 依题意可知E(0,$\frac{1}{2}$),|EF₁|=$\frac{7}{2}$,PF₂⊥F₁F₂,所以c=|OF₁|=$\sqrt{|EF_{1}|^{2}-|OE|^{2}}$=2$\sqrt{3}$,|PF₁|=2|EF₁|=7,|PF₂|=2|OE|=1,因为|PF₁|−|PF₂|=2a=6,所以a=3,又c²=a²+b²,所以b²=3,所以双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{9}$−$\frac{y^{2}}{3}$=1.

14. 已知双曲线过点(3，-2)且与椭圆4x² + 9y² = 36有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点M在双曲线上，F₁，F₂为左、右焦点，且|MF₁| + |MF₂| = 6$\sqrt{3}$，试判断△MF₁F₂的形状.

答案： 解　
(1)椭圆方程可化为$\frac{x^{2}}{9}$+$\frac{y^{2}}{4}$=1,焦点在x轴上,且c=$\sqrt{9−4}$=$\sqrt{5}$,故设双曲线方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}$−$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1(a＞0,b＞0),则有$\begin{cases}\frac{9}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1\\a^{2}+b^{2}=5\end{cases}$,解得a²=3,b²=2,所以双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{3}$−$\frac{y^{2}}{2}$=1.
(2)不妨设M点在双曲线的右支上，则有|MF₁|−|MF₂|=2$\sqrt{3}$,又|MF₁|+|MF₂|=6$\sqrt{3}$,故|MF₁|=4$\sqrt{3}$,|MF₂|=2$\sqrt{3}$,又|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$,因此在△MF₁F₂中,MF₁边最长,而cos∠MF₂F₁=$\frac{|MF_{2}|^{2}+|F_{1}F_{2}|^{2}-|MF_{1}|^{2}}{2|MF_{2}||F_{1}F_{2}|}$＜0,所以∠MF₂F₁为钝角,故△MF₁F₂为钝角三角形.

15.（逻辑推理）光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射. 已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出. 如图，椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（a＞b＞0）与双曲线C'：$\frac{x^{2}}{m^{2}}-\frac{y^{2}}{n^{2}}=1$（m＞0，n＞0）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k（k∈N*）次反射后回到左焦点所经过的路径长为_______.

答案：
光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后,反射光线的反向延长线过另一个焦点,如图,|BF₂|=2m+|BF₁|,|BF₁|+|BA|+|AF₁|=|BF₂|−2m+|BA|+|AF₁|=|AF₂|+|AF₁|−2m=2a−2m,所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a−m).