《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{16}=1$的实轴长是 （ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8

答案： B 因为双曲线的方程是$x^{2}-\frac{y^{2}}{16}=1$，所以$a = 1$，所以实轴长是$2a = 2$，故选B.

2. 若双曲线$C:\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率为$\sqrt{3}$，则$C$的虚轴长为 （ ）
A. 4
B. $2\sqrt{3}$
C. $2\sqrt{6}$
D. 2

答案： C 因为双曲线$C:\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率为$\sqrt{3}$，所以$\frac{\sqrt{3 + m}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，解得$m = 6$，所以虚轴长为$2\sqrt{6}$. 故选C.

3. 双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的一条渐近线方程为$y = x$，则此双曲线的离心率为 （ ）
A. 2
B. $\sqrt{2}$
C. 3
D. $\sqrt{3}$

答案： B 因为双曲线是焦点在$x$轴上的双曲线，一条渐近线方程为$y = x$，所以$\frac{b}{a}=1$，所以离心率$e=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{2}$. 故选B.

4.（2024·济南期末）与双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$有共同的渐近线，且经过点$(-3,2\sqrt{3})$的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 （ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8

答案： B 设双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=\lambda(\lambda\neq0且\lambda\neq1)$，将点$(-3,2\sqrt{3})$代入此双曲线方程，得$\frac{9}{9}-\frac{12}{16}=\lambda$，解得$\lambda=\frac{1}{4}$，故所求双曲线的方程为$\frac{4x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$，从而所求双曲线的一个焦点坐标为$(\frac{5}{2},0)$，一条渐近线方程为$y=\frac{4}{3}x$，即$4x - 3y = 0$，所以焦点到一条渐近线的距离是$\frac{10}{\sqrt{16 + 9}}=2$，故选B.

5. 下列双曲线的渐近线方程为$y=\pm 2x$的是 （ ）
A. $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$
B. $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$
C. $\frac{y^{2}}{2}-x^{2}=1$
D. $y^{2}-\frac{x^{2}}{4}=1$

答案： B $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的渐近线方程为$y=\pm\frac{1}{2}x$，故A错误；$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$的渐近线方程为$y=\pm2x$，故B正确；$\frac{y^{2}}{2}-x^{2}=1$的渐近线方程为$y=\pm\sqrt{2}x$，故C错误；$y^{2}-\frac{x^{2}}{4}=1$的渐近线方程为$y=\pm\frac{1}{2}x$，故D错误. 故选B.

6. 已知$F_{1},F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点，若点$F_{2}$关于直线$y=\frac{b}{a}x$的对称点$M$也在双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ）
A. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{5}$
D. 2

答案： C 过焦点$F_{2}$且垂直于渐近线的直线方程为$y=-\frac{a}{b}(x - c)$，与渐近线方程$y=\frac{b}{a}x$联立，解得$x=\frac{a^{2}}{c}$，$y=\frac{ab}{c}$，故对称中心为$(\frac{a^{2}}{c},\frac{ab}{c})$，由中点坐标公式可得对称点的坐标为$(\frac{2a^{2}}{c}-c,\frac{2ab}{c})$，将其代入双曲线的方程可得$\frac{(2a^{2}-c^{2})^{2}}{a^{2}c^{2}}-\frac{4a^{2}}{c^{2}}=1$，化简可得$c^{2}=5a^{2}$，故可得$e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}$. 故选C.

7.（2023·河南新乡联考）已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1(m＞0)$的一条渐近线方程为$\sqrt{3}x+my = 0$，则$C$的焦距为_______.

答案： 4
解析 由渐近线方程$\sqrt{3}x+my = 0$得$y=-\frac{\sqrt{3}}{m}x$，即$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{m}$，两边平方得$\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{m^{2}}$，又双曲线中$a^{2}=m$，$b^{2}=1$，故$\frac{3}{m^{2}}=\frac{1}{m}$，解得$m = 3$，由$c^{2}=a^{2}+b^{2}=3 + 1 = 4$，得$c = 2$，故焦距$2c = 4$.

8. 已知椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$的长轴端点和焦点分别是双曲线$C$的焦点和顶点，则双曲线$C$的方程为__________.

答案： $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
解析 由椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$可得，椭圆的长轴端点为$(\pm4,0)$，焦点为$(\pm2,0)$，所以双曲线的焦点为$(\pm4,0)$，顶点为$(\pm2,0)$.设双曲线方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，可得$a^{2}=4$，$c^{2}=16$，所以$b^{2}=c^{2}-a^{2}=16 - 4 = 12$，所以双曲线$C$的方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$.

9. 已知$F_{1},F_{2}$分别是双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点，且双曲线$C$的实轴长为6，离心率为$\frac{5}{3}$.
（1）求双曲线$C$的标准方程；
（2）设点$P$是双曲线$C$上任意一点，且$|PF_{1}| = 10$，求$|PF_{2}|$.

答案： 解 （1）由题意知，$2a = 6$，$\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$，解得$a = 3$，$c = 5$，故$b^{2}=c^{2}-a^{2}=16$，所以双曲线$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$.
（2）因为$a + c = 8$，$|PF_{1}|=10＞8$，所以点$P$可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上.
①若点$P$在双曲线的左支上，则$|PF_{2}|-|PF_{1}|=2a = 6$，所以$|PF_{2}|=|PF_{1}|+6 = 16$.
②若点$P$在双曲线的右支上，则$|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a = 6$，所以$|PF_{2}|=|PF_{1}|-6 = 4$.
综上，$|PF_{2}|=16$或$4$.