《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B　直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相切（直线与双曲线的渐近线平行）；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一公共点.

2. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的两个顶点分别为$A,B$，点$P$为双曲线上除$A,B$外任意一点，且点$P$与点$A,B$连线的斜率分别为$k_{1},k_{2}$，若$k_{1}k_{2}=3$，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. $y=\pm x$
B. $y=\pm\sqrt{2}x$
C. $y=\pm\sqrt{3}x$
D. $y=\pm2x$

答案： C　设点$P(x,y)$，$A(a,0)$，$B(-a,0)$，由题意知$k_1\cdot k_2=\frac{y}{x - a}\cdot\frac{y}{x + a}=\frac{y^{2}}{x^{2}-a^{2}}=\frac{y^{2}}{\frac{a^{2}y^{2}}{b^{2}}}=\frac{b^{2}}{a^{2}} = 3$，所以其渐近线方程为$y=\pm\sqrt{3}x$.

3.（2024·福建福州期末）双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的右焦点为$F_{2}$，过点$F_{2}$且倾斜角为$\frac{\pi}{3}$的直线$l$与双曲线右支交于$A,B$两点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. $(1,2)$
B. $(1,\sqrt{2})$
C. $(\sqrt{2},+\infty)$
D. $(2,+\infty)$

答案： A　因为过$F_2$的直线$l$的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$，所以直线$l$的斜率$k = \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，因为直线$l$与双曲线右支交于$A$，$B$两点，所以$\frac{b}{a}＜\sqrt{3}$，所以$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1 + (\frac{b}{a})^{2}}＜\sqrt{4}=2$，又$e＞1$，所以$1 ＜ e ＜ 2$. 故选A.

4. 经过双曲线$x^{2}-y^{2}=8$的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为（ ）
A. $\frac{4\sqrt{10}}{3}$
B. $\frac{20\sqrt{2}}{3}$
C. $\sqrt{10}$
D. $7\sqrt{2}$

答案： B　双曲线$x^{2}-y^{2}=8$的右焦点为$(4,0)$，经过双曲线$x^{2}-y^{2}=8$的右焦点且斜率为$2$的直线方程为$y = 2(x - 4)$，代入$x^{2}-y^{2}=8$并整理得$3x^{2}-32x + 72 = 0$，设交点为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1 + x_2=\frac{32}{3}$，$x_1x_2 = 24$，所以直线被双曲线截得的线段的长为$\sqrt{1 + 4}\times\sqrt{\frac{32^{2}}{9}-96}=\frac{20\sqrt{2}}{3}$.

5. 设点$F_{1},F_{2}$分别是双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{2}=1(a＞0)$的左、右焦点，过点$F_{1}$且与$x$轴垂直的直线$l$与双曲线$C$交于$A,B$两点. 若$\triangle ABF_{2}$的面积为$2\sqrt{6}$，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. $y=\pm\sqrt{3}x$
B. $y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$
C. $y=\pm\sqrt{2}x$
D. $y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x$

答案： D　设$F_1(-c,0)$，$A(-c,y_0)$，则$\frac{c^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{2}=1$，$\therefore\frac{y_{0}^{2}}{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}-1=\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{2}{a^{2}}$，$\therefore y_{0}^{2}=\frac{4}{a^{2}}$，$\therefore|AB| = 2|y_0|=\frac{4}{a}$.
又$S_{\triangle ABF_2}=2\sqrt{6}$，$\therefore\frac{1}{2}\cdot2c\cdot|AB|=\frac{1}{2}\cdot2c\cdot\frac{4}{a}=\frac{4c}{a}=2\sqrt{6}$，$\therefore\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\therefore\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}-1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore$该双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x$.

6.（多选）已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{m}=1$过点$(3,\sqrt{2})$，则下列结论正确的是（ ）
A. $C$的焦距为4
B. $C$的离心率为$\sqrt{3}$
C. $C$的渐近线方程为$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$
D. 直线$2x-\sqrt{3}y - 1 = 0$与$C$有两个公共点

答案： AC　由双曲线$C:\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{m}=1$过点$(3,\sqrt{2})$，可得$m = 1$.则双曲线$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$，所以$a=\sqrt{3}$，$b = 1$，$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2$，因为双曲线$C$的焦距为$2c = 4$，所以选项A正确；因为双曲线$C$的离心率为$\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以选项B不正确；因为双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$，所以选项C正确；将直线$2x-\sqrt{3}y - 1 = 0$与双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$联立，消去$y$可得$3x^{2}-4x + 4 = 0$，$\Delta=(-4)^{2}-4\times3\times4=-32＜0$，所以直线$2x-\sqrt{3}y - 1 = 0$与双曲线$C$没有公共点，所以选项D不正确.

7. 过点$A(3,-1)$且被$A$点平分的双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的弦所在的直线方程是____________.

答案： $3x + 4y - 5 = 0$
解析 易知所求直线的斜率存在，设为$k$，则该直线的方程为$y + 1 = k(x - 3)$，代入$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$，消去$y$得关于$x$的一元二次方程$(1 - 4k^{2})x^{2}+(24k^{2}+8k)x-36k^{2}-24k - 8 = 0(1 - 4k^{2}\neq0)$，$\therefore-\frac{24k^{2}+8k}{1 - 4k^{2}}=6$，$\therefore k=-\frac{3}{4}$（满足$\Delta＞0$），$\therefore$所求直线方程为$3x + 4y - 5 = 0$.

8. 双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的渐近线为正方形$OABC$的边$OA,OC$所在的直线，点$B$为该双曲线的焦点，若正方形$OABC$的边长为2，则$a=$________.

答案：
$2$
解析 设$B$为双曲线的右焦点，如图所示

$\because$四边形$OABC$为正方形且边长为$2$，$\therefore c = |OB| = 2\sqrt{2}$.
又$\angle AOB=\frac{\pi}{4}$，$\therefore\frac{b}{a}=\tan\frac{\pi}{4}=1$，即$a = b$.
又$\because a^{2}+b^{2}=c^{2}=8$，$\therefore a = 2$.

9.（2023·大庆期末）过双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左焦点$F_{1}$作倾斜角为$\frac{\pi}{6}$的直线$l$，直线$l$与双曲线交于$A,B$两点，求$|AB|$的长.

答案： 解 双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左焦点$F_1(-2,0)$，因为直线$l$的倾斜角为$\frac{\pi}{6}$，所以$k=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以直线$l$的方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 2)$，联立$\begin{cases}x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1\\y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 2)\end{cases}$得$8x^{2}-4x - 13 = 0$，设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$\begin{cases}x_1 + x_2=\frac{1}{2}\\x_1x_2=-\frac{13}{8}\end{cases}$，则$|AB|=\sqrt{1+(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}\times\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}-4\times(-\frac{13}{8})}=\sqrt{\frac{4}{3}}\times\sqrt{\frac{27}{4}}=\sqrt{9}=3$.