《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 圆$x^{2}+y^{2}-2ax - 3a^{2}=0$的半径是 （ ）
A. $\sqrt{2}|a|$
B. $2|a|$
C. $\sqrt{2}a$
D. $2a$

答案： Bx²+y²−2ax−3a²=0可转化为(x−a)²+y²=4a²,则圆心坐标为(a,0),半径为2la|.故选B.

2.（2023·浙江金华期中）下列方程表示圆的是 （ ）
A. $x^{2}+y^{2}+xy - 1=0$
B. $x^{2}+y^{2}+2x + 2y + 2=0$
C. $x^{2}+y^{2}-3x + y + 4=0$
D. $2x^{2}+2y^{2}+4x + 5y + 1=0$

答案： D　A选项,
∵方程x²+y²+xy−1=0中有xy项,
∴该方程不表示圆;B选项,对于方程x²²+y²+2.x+2y+2=0,
∵2²+2²−4×2=0,
∴该方程不表示圆;C选项,对于方程x²+y²−3x+y+4=0,
∵(−3)²+1²−4×4＜0,
∴该方程不表示圆;D选项,方程2x²+2y²+4x+5y+1=0可化为x²+y²+2x+$\frac{5}{2}$y+$\frac{1}{2}$=0,
∵2²+($\frac{5}{2}$}2−4×$\frac{1}{2}$＞0,
∴该方程表示圆.故选D.

3. 已知圆$x^{2}+y^{2}+2k^{2}x + 2y + 4k=0$关于直线$y = x$对称，则$k$的值为 （ ）
A. $-1$
B. 1
C. $\pm1$
D. 0

答案： A　将圆的−般方程x²+y²+2k²x+2y+4k=0化为标准方程得(x+k²)²+(y+1)²=k⁴−4k+1,则圆心坐标为(−k²,−1).
∵圆x²+y²+2k²x+2y+4k=0关于直线y=x对称,
∴直线y=x经过圆心,
∴−k²=−1,解得k=±1.当k=1时,k⁴−4k+1＜0,不符合题意,
∴k=−1.故选A.

4. 如果直线$l$将圆$x^{2}+y^{2}-2x - 4y=0$平分，且不通过第四象限，那么$l$的斜率的取值范围是 （ ）
A. $[0,2]$
B. $[0,1]$
C. $\left[0,\frac{1}{2}\right]$
D. $\left[0,\frac{1}{2}\right)$

答案： 4.A　圆的方程可转化为(x−1)²+(y−2)²=5,圆心坐标为(1,2),则直线1过点(1,2),又直线1不通过第四象限，所以1的斜率的取值范围是[0,2].

5. 圆心在$x$轴上，且过点$(-1,-3)$的圆与$y$轴相切，则该圆的方程是 （ ）
A. $x^{2}+y^{2}+10y=0$
B. $x^{2}+y^{2}-10y=0$
C. $x^{2}+y^{2}+10x=0$
D. $x^{2}+y^{2}-10x=0$

答案： 5.C　设圆心坐标为(t,0),因为圆心在x轴上且圆与y轴相切，所以|t|为半径，则根据题意得　$\sqrt{(−1−t)²+(−3−0)²}$=|t|,解得t=−5,所以圆心坐标为(−5,0),半径为5,该圆的方程是(x+5)²+y²=25,展开得x²+y²+10x=0.故选C.

6. 在平面直角坐标系中，四点坐标分别为$A(2,0)$，$B(3,2 - \sqrt{3})$，$C(1,2 + \sqrt{3})$，$D(4,a)$，若它们都在同一个圆上，则$a$的值为 （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. $\sqrt{3}$

答案： 6.C　设圆的方程为x²+y²+Dx+Eγ+F=0,由题意得{2²+0²+2D+F=0,3²+(2|$\sqrt{3}$)²+3D+(2|$\sqrt{3}$)E+F=0,1²+(2+$\sqrt{3}$)²+D+(2+$\sqrt{3}$)E+F=0,解得D=−4,E=−4,F=4,所以该圆的方程为x²+y²−4x−4y+4=0,又因为点D(4,α)在圆上,所以4²+a²−4×4−4a+4=0,解得a=2.故选C.

7. 若方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F=0$表示以$(2,-4)$为圆心，4 为半径的圆，则$F$的值为________.

答案： 7.4
解析　因为方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示以(2,−4)为圆心，4为半径的圆,所以$\begin{cases}D²+E²−4F＞0\\-\frac{D}{2}=2\\-\frac{E}{2}=-4\\\frac{\sqrt{D²+E²−4F}}{2}=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}D=-4\\E=8\\F=4\end{cases}$，所以F的值为4.

8. 若圆的方程为$x^{2}+y^{2}+kx + 2y + k^{2}=0$，则当圆面积最大时，圆心坐标为________.

答案： 8.(0,−1)
解析　将圆的方程配方得(x+$\frac{k}{2}$)²+(y+1)²=−$\frac{3}{4}$k²+1,
∵r²=−$\frac{3}{4}$k²+1＞0,
∴rmx=1,此时k=0,
∴圆心为(0,−1).

9.（2024·山西大同一中月考）若圆$C$经过点$A(1,\sqrt{5})$和$B(2,-2\sqrt{2})$，且圆心在$x$轴上.
（1）求圆$C$的一般方程；
（2）若圆心到直线$ax + y - 1=0$的距离等于 3，求$a$的值.

答案： 9.解　
(1)设圆心C(m,0),半径为r,则$\sqrt{(1−m)²+(√5−0)²}$=$\sqrt{(2−m)²+(−2\sqrt{2}−0)²}$=r,
∴m=3,r=3,
∴圆C的方程为(x−3)²+y²=9,故圆C 的一般方程为x²+y²−6x=0.
(2)由
(1)知,圆心C(3,0),则$\frac{|3a−1|}{\sqrt{a²+1²}}$=3,
∴−6a+1=9,a=−$\frac{4}{3}$.