《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}} = 1(m＞0)$的左焦点为$F_1(-4,0)$，则$m =$（ ）
A. 9
B. 4
C. 3
D. 2

答案： 1.C　根据焦点坐标可知焦点在x轴,所以a²=25,b²=
　m²,c²=16,又因为m²=b²=α²−c²=9,所以m=3,故选C.

2. 已知椭圆的焦点为$(-1,0)$和$(1,0)$，点$P(2,0)$在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
A. $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$
B. $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$
C. $\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{3}=1$
D. $\frac{y^{2}}{4}+x^{2}=1$

答案： 2.A　根据椭圆的定义知a=$\frac{1}{2}$　　　$\sqrt{(2+1)²+0}$+$\sqrt{(2−1)²+0}$]=2,又c=1,
∴b²=a²−c²=3,
∴椭圆的方程为$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1,故选A.

3.（2023·河北邢台质检）如果方程$kx^{2}+y^{2}=2$表示焦点在$x$轴上的椭圆，那么实数$k$的取值范围是（ ）
A. $(1,+\infty)$
B. $(1,2)$
C. $(\frac{1}{2},1)$
D. $(0,1)$

答案： 3.D　由方程kx²+y²=2,可得$\frac{x}{2}$2+$\frac{y}{2}$2=1,
　　　　　　　　　　　k
　因为方程kx²+y²=2表示焦点在x轴上的椭圆,所以$\frac{2}{k}$＞2,解得0＜k＜1.
　所以实数k的取值范围是(0,1).故选D.

4. 椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点$M$到焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$|ON|$等于（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. $\frac{3}{2}$

答案： 4.B　设椭圆另一焦点为F2,根据椭圆的定义，可知|MF，|+|MF2∣=2a=10,又|MF∣=2,所以|MF2|=8.
　在△MFF2中,N是MF1的中点,O是FlF2的中点,故ON是△MF1F2的中位线,故|ON|=$\frac{1}{2}$|MF2|=
　$\frac{1}{2}$×8=4.故选B.

5. 已知$F_1,F_2$是椭圆$C:\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$|MF_1|\cdot|MF_2|$的最大值为（ ）
A. 13
B. 12
C. 9
D. 6

答案： 5.C　由题知a=3,则|MF1+|MF2|=2a=6,所以|MF1.|MF2|∣≤($\frac{|MF,|+|MF}{2}$2=9(当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成文).故选C.

6.（2024·山东青岛二中月考）已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，$P$为椭圆上的一个动点，若$\angle F_1PF_2 = 60^{\circ}$，则$\triangle PF_1F_2$的面积为（ ）
A. $9\sqrt{3}$
B. $3\sqrt{3}$
C. $\frac{25\sqrt{3}}{3}$
D. $\sqrt{3}$

答案： 6.B　由$\frac{x}{25}$2+$\frac{y}{9}$=1,得a²=25,b²=9,c²=a²−b²=25−9=16,即a=5,b=3,c=4,
　由椭圆的定义可知,|PF1I+|PF2|=10,|FF2|=8,在△PFF2中,由余弦定理得|FF21²=|PF1²+|PF2|²−2|PF|.|PF2|.cos60,可得
　8²=(|PF∣+|PF2∣)²−3|PF{.|PF2|,解得|PF|.|PF2|=12.
　所以S△PFF=$\frac{1}{2}$.PF|.|PF2|.sin60°=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$.故选B.

7. 已知$a = 2,b = 1$，焦点在$x$轴上，则此椭圆的标准方程为______________．

答案： 7.$\frac{x}{4}$+y²=1
　解析　因为椭圆的焦点在x轴上且a=2,b=1,所以椭圆的标准方程为$\frac{x}{4}$2+y²=1.

8.（2024·河南南阳一中月考）设$F_1,F_2$分别是椭圆$C:\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点，$P$是$C$上的点，则$\triangle PF_1F_2$的周长为________．

答案： 8.16
　解析　由椭圆C:$\frac{x}{25}$2+$\frac{y}{16}$=1,得a=5,b=4,c=3,
　因为P是C上的点,所以|PF|+|PF2|=2a=10,所以△PF1F2的周长为|PF1+|PF2|+|FF2|=16.

9. 已知椭圆$\frac{8x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{36}=1$上一点$M(x_0,y_0)$，且$x_0＜0,y_0 = 2$．
（1）求$x_0$的值；
（2）求过点$M$且与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$共焦点的椭圆的方程．

答案： 9.解　
(1)把点M的坐标代入$\frac{8.x}{81}$+$\frac{y}{36}$.2=1,得$\frac{8x}{81}$+$\frac{4}{36}$=
　1,即x²=9,
∴x。=±3.又x。＜0,故x=−3.
(2)对于椭圆$\frac{x}{9}$+$\frac{y}{4}$.2=1,焦点在x轴上且c²=9−4=5,故设所求椭圆的方程为$\frac{x}{a”}$2+$\frac{y}{a²−5}$=1(a²＞5),
　把点M的坐标代入得$\frac{9}{a”}$　　$\frac{4}{a²−5}$=1,解得a²=
　15(a²=3舍去).故所求椭圆的方程为$\frac{x}{15}$+$\frac{y}{10}$=1.