《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 已知两直线的方向向量分别为$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$，则下列选项中能使两直线垂直的为（ ）
A. $\boldsymbol{a}=(1,0,0),\boldsymbol{b}=(-3,0,0)$
B. $\boldsymbol{a}=(0,1,0),\boldsymbol{b}=(1,0,1)$
C. $\boldsymbol{a}=(0,1,-1),\boldsymbol{b}=(0,-1,1)$
D. $\boldsymbol{a}=(1,0,0),\boldsymbol{b}=(-1,0,0)$

答案： 1.B　因为B选项中a=(0,1,0),b=(1,0,1),a.b=0×1+1×0+0×1=0,所以a⊥b,

2. 如果直线$l$的方向向量是$\boldsymbol{a}=(-2,0,1)$，且直线$l$上有一点$P$不在平面$\alpha$内，平面$\alpha$的法向量是$\boldsymbol{b}=(2,0,4)$，那么（ ）
A. $l\perp\alpha$
B. $l//\alpha$
C. $l\subset\alpha$
D. $l$与$\alpha$斜交

答案： 2.B　因为a.b=−2×2+0×0+1×4=0,所以a⊥b,又因为直线l上有一点P不在平面α内,　所以l∝α,所以l///α.故选B.

3. 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，$PB\perp$平面$ABCD$，$PB = AB = 2BC = 4$，$AB\perp BC$，则点$C$到直线$PA$的距离为（ ）

A. $2\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{5}$
C. $\sqrt{2}$
D. $4$

答案：
3.A　如图,以B为坐标原点，射线BC,BA,　BP分别为x轴、y轴、x轴的非负半轴,建　立空间直角坐标系，　　　　　　　　　　　　　　　　 则C(2,0,0),A(0,4,0),P(0,0,4),　故PC=(2，0，−4),PA=(0,4,−4),　　　PA.$\frac{.0.}{PC}$　所以　|PA|"$\frac{16}{4\sqrt{2}}$=2√2,　故点C到直线PA的距离为　$\sqrt{PC²−(2\sqrt{2}2}$=　　$\sqrt{20−8}$=2$\sqrt{3}$.故选A.

4.（2024·安徽淮北期末）在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，若$E$为$A_{1}C_{1}$的中点，则直线$CE$垂直于（ ）
A. $BD$
B. $AC$
C. $A_{1}D$
D. $A_{1}A$

答案：
4.A　如图,以D为坐标原点,DA,DC,　DD所在的直线分别为x,y,N轴,建立　空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长　　　　　　　　　　　　　　　　 为1,则C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),　D(0,0,0),A,(1,0,1),E($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,1),所　以CE=($\frac{1}{2}$,−$\frac{1}{2}$,1),AC=(−1,1,0),BD=(−1,−1,0),AD=(−1,0,−1),AA=(0,0,−1).因为CE.BD=0,CE.AC=−1≠0,CE.AD=−$\frac{3}{2}$≠0,CE.AA=−1≠0,所以CE⊥BD.故选A.

5. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑$ABCD$中，$AB\perp$平面$BCD$，$BC\perp CD$，且$AB = BC = CD$，$M$为$AD$的中点，则异面直线$BM$与$CD$夹角的余弦值为（ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

答案：
5.C　如图，将鳖臑ABCD放在正方体中,　可知其是由正方体的四个顶点构成的，　建立空间直角坐标系Bxy,设正方体的　　　　　　　　　　　　　　　 棱长为2,则B(0,0,0),C(2,0,0),D(2,　2,0),M(1,1,1),所以BM=(1,1,1),　CD=(0,2,0),所以cos＜BM,CD＞=|BBMM|.|CCDD|=$\frac{2}{3×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.　因为异面直线夹角的范围为(0,$\frac{π}{2}$1,　所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

6. 如图，已知动点$P$在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的体对角线$BD_{1}$（不含端点）上.设$\frac{D_{1}P}{D_{1}B}=\lambda$，若$\angle APC$为钝角，则实数$\lambda$的取值范围为（ ）

A. $(0,\frac{1}{3})$
B. $(0,\frac{1}{2})$
C. $(\frac{1}{3},1)$
D. $(\frac{1}{2},1)$

答案：
6.C　由题设，建立如图所示的空间直角坐　标系Dxyz,　设正方体ABCD−ABC:D的棱长为1,　　　　　　　　　　　　　　　　 则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),　D(0,0,1),DA=(1,0,−1　DC 　1,−1),DB=(1,1,−1),则$\frac{),D}{DP}$=$\frac{(0,}{B}$=(λ,λ,一λ),
∴PA=PD+DA=(−λ,−λ,λ)+(1,0,−1)=(1−λ,一λ,λ−1)　PC=PD+$\frac{.}{D,C}$=(−λ,−λ,λ)+(0,1,−1)=(−λ,1−λ,λ−1).
∵∠APC为钝角,则cos∠APC＜0,
∴PA.PC＜O,
∴(1−λ)(−λ)+(−λ)(1−λ)+(λ−1)²=(λ−1)(3λ−1)＜0,解得$\frac{1}{3}$∽＜1,
∴λ的取值范围是($\frac{1}{3}$,1).故选C

7. 如图所示，在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AC\perp BC$，且$BC = 3$，$AC = 4$，$CC_{1}=3$，点$P$在棱$AA_{1}$上，且三棱锥$A - PBC$的体积为$4$，则直线$BC_{1}$与平面$PBC$所成角的正弦值等于（ ）

A. $\frac{\sqrt{10}}{4}$
B. $\frac{\sqrt{6}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{5}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{5}$

答案：
7.C　　由已知得AA1⊥底面ABC,且　AC⊥BC,所以VA−PBC=VP−AβC=$\frac{1}{3}$×　　　　　　　　　　　　　　　 SABC×PA=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×4×PA=4,　解得PA=2.如图所示,以点C为坐标　原点,CB,CA,CC所在直线分别为x,y,N轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(0,4,2),B(3,0,0),C(0,0,3),则CB=(3,0,0),，CP=(0,4,2),BC=(−3,0,3)),设平面PBC的法向量为n=(x,y,),则由{nn..CcBP==00,,可得{34xy+=20x,=0,得x=0,令y=1,得x=　−2,所以n=(0,1,−2)为平面PBC的一个法向量，设直线BC，与平面PBC所成的角为0,则sinθ=|cos(n,BC＞｜=|n.BC|=　　　　|n||BC1|　$\frac{1−61}{\sqrt{1²+(−2)²}x\sqrt{(−3)²+3²}}$　$\frac{\sqrt{10}}{5}$.故选C.

8. 已知点$E$在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的侧面$AA_{1}B_{1}B$内（含边界），$F$是$AA_{1}$的中点，若$D_{1}E\perp CF$，则$\tan\angle BCE$的最小值为（ ）
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\sqrt{2}-1$
C. $\sqrt{3}-1$
D. $\frac{\sqrt{3}}{5}$

答案：
8.A　连接BE,由题得△BEC是直角三　角形,在Rt△BEC中,tan∠BCE=　$\frac{EB}{BC}$,所以当EB取最小值时,tan∠BCE 　　　　　　　　　　　　　　　 最小.　设AA1=2,以A为原点，建立如图所示x 　的空间直角坐标系,　则C(2,2,0),F(0,0,1),D(0,2,2).设E(x,0,x),所以CF=(−2,−2,1),DE=(x,−2,x−2),　因为DE⊥CF,所以CF.DE=−2x+x+2=0,即2x−x−2=0.取棱AB的中点M,则E点的轨迹为线段BM.　当BE⊥B1M时,BE最小,此时BE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,　所以tan∠BCE=$\frac{EB}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$.故选A.

9. 已知边长为$4$的正方形$ABCD$所在平面外一点$P$与正方形的中心$O$的连线$PO$垂直于平面$ABCD$，且$PO = 6$，则$PO$的中点$M$到$\triangle PBC$的重心$N$的距离为________.

答案：
9.$\frac{5}{3}$　解析　依题意建立如图所示的空间直角坐　标系.由题意得M(0,0,3),N(0,$\frac{4}{3}$,2),　　　　　　　　　　　　　　　　 则MN=(0,$\frac{4}{3}$,−1).　于是|MN|=　$\sqrt{0²+(\frac{4}{3}+(−1)²}$=　$\frac{5}{3}$.故PO的中点M到△PBC的重心N的距离为$\frac{5}{3}$.

10. 如图，直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的侧棱$AA_{1}=\sqrt{3}$，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 1$，则点$B_{1}$到平面$A_{1}BC$的距离为________.

答案：
10.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　解析　如图所示，建立空间直角坐标系，　则B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,$\sqrt{3}$),　B,(0,1,$\sqrt{3}$),　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AB=(−1,1,−$\sqrt{3}$),AC=(−1,0,　$\sqrt{3}$),AB=(−1,1,0).　设平面ABC的法向量为n=(x,y,),　则{nn.A=0'即−x+y−$\sqrt{3}$x=0,　　　　　　　　−x−$\sqrt{3}$x=0.　令x=1,得x=−$\sqrt{3}$,y=0,
∴n=(−$\sqrt{3}$,0,1).　　　　　　　　　　　　　　　$\sqrt{3}$,0,1).
∴点B到平面ABC的距离d=$\frac{n.AB}{|n)}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

11.（2023·山西大同四校联考）如图，在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，底面是以$\angle ABC$为直角的等腰直角三角形，$AC = 2a$，$BB_{1}=3a$，$D$是$A_{1}C_{1}$的中点，点$E$在棱$AA_{1}$上，要使$CE\perp$平面$B_{1}DE$，则$AE =$________.

答案：
11.a或2a 　解析　以B为坐标原点,BA,BC,BB1所　在的直线分别为x轴、y轴、N轴,建立如图　所示的空间直角坐标系，则B(0,0,3a),　　　　　　　　　　　　　　　　　 　C(o'$\sqrt{2}$a,0).设E($\sqrt{2}$a,0,x)(0≤x≤3a),　则CE=($\sqrt{2}$a,−$\sqrt{2}$a,x),B.E.=($\sqrt{2}$a,0,　x−3a).由题意得CE⊥$\frac{BE}{BE}$,则CE.BE=O,即2a²+N²−3az=0,解得x=a或2a,即AE=a或2a.

12. 如图，在正三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AB = AA_{1}=2$，$E,F$分别是$BC,A_{1}C_{1}$的中点.设$D$是线段$B_{1}C_{1}$上的动点（包括两个端点），若直线$BD$与$EF$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$，则线段$BD$的长为________.

答案：
12.2√2 　解析　如图,以E为原点建立空间直角　坐标系，　则E(0,0,0),F($\frac{3}{2}$,$\frac{1}{2}$,2),B(0,−1,　　　　　　　　　　　　　　　 一　0),设D(0,t,2)(−1≤t≤1),则EF=　($\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$,2),BD=(0,t+1,2),设直线　BD与EF所成的角为θ,则cos0=||EEFF|.|BBDD|=　　　|$\frac{t+1}{2}$+4|　　　　　　　　=$\frac{\sqrt{10}}{4}$,即23t²+14t−37=0,解得$\sqrt{5}$.　$\sqrt{(t+1)²+4}$t=1或t=−$\frac{37}{23}$(舍去),所以BD=|BD|=　　$\sqrt{0²+2+2²}$=2√2.

13. 如图，在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\angle ABC=\frac{\pi}{2}$，$D$是棱$AC$的中点，且$AB = BC = BB_{1}=2$.
(1)求证：$AB_{1}//$平面$BC_{1}D$；
(2)求异面直线$AB_{1}$与$BC_{1}$所成角的大小.

答案：
13.解　
(1)证明:建立如图所示的空间　直角坐标系Bxy,则B(0,0,0),　A(0,2,0),C(2,0,2),B(0,0,2),　　　　　　　　　　　　　　 　D(1,1,0),　因此AB=(0,−2,2),BC=(2,　0,2),BD=(1,1,0),　设平面BCD的一个法向量为n=(x,y,z),则　{BBCD..nn==00,,即{x2.x++y2=x=0,0,令x=1,则y=−1,x=−1,　故平面BCD的一个法向量为n=(1,−1,−1),　因为AB.n=0,所以AB⊥n,又因为AB1C平面BC1D,所以AB1//平面BC1D.　
(2)由
(1)得AB=(0,−2,2),一C.=(2'，0,2),　　　　　　　　　　AB.$\frac{BC,}{BC}$　所以cos＜AB,BC＞=|AB||BC|=$\frac{0+0+4}{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$,设异面直线AB与BC，所成的角为0,则cos0=$\frac{1}{2}$,由于0∈(0.'$\frac{π}{2}$],故θ=$\frac{π}{3}$,　即异面直线AB，与BC，所成角的大小为$\frac{π}{3}$.