《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10. 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心$O$处向东走1 km是储备基地的边界上的点$A$，接着向东再走7 km到达公路上的点$B$；从基地中心$O$向正北走8 km到达公路的另一点$C$. 现准备在储备基地的边界上选一点$D$，修建一条由$D$通往公路$BC$的专用线$DE$，求$DE$的最短距离.

答案：
解 如图所示，以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系。则圆O的方程为$x^{2}+y^{2}=1$，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为$\frac{x}{8}+\frac{y}{8}=1$，即$x + y = 8$。当点D选在与直线BC平行的直线（距BC较近的一条）与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，故DE的最小值为$\frac{|0 + 0 - 8|}{\sqrt{2}}-1=(4\sqrt{2}-1)km$。所以DE的最短距离为$(4\sqrt{2}-1)km$。

11. 若曲线$C:y = 1+\sqrt{4 - x^{2}}$与直线$l:y = k(x - 2)+4$有两个不同的交点，则实数$k$的取值范围是（ ）
A. $(\frac{5}{12},\frac{3}{4}]$
B. $(\frac{5}{12},+\infty)$
C. $[\frac{1}{3},\frac{3}{4}]$
D. $(0,\frac{5}{12})$

答案： A 由题意，得曲线$C:x^{2}+(y - 1)^{2}=4(y≥1)$表示以(0,1)为圆心，2为半径的圆的上半部分，左端点为A(-2,1)，而直线$l:y = k(x - 2)+4$过定点P(2,4)，当直线l与半圆相切时，$\frac{|k(0 - 2)-1 + 4|}{\sqrt{k^{2}+1}} = 2$，解得$k = \frac{5}{12}$。又$k_{AP}=\frac{3}{4}$，于是$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$。故选A。

12.（多选）从点$A(-3,3)$发出的光线$l$射到$x$轴上被$x$轴反射后，照射到圆$C:x^{2}+y^{2}-4x - 4y + 7 = 0$上，则下列结论正确的是（ ）
A. 若反射光线与圆$C$相切，则反射光线方程为$3x - 4y - 3 = 0$
B. 若反射光线穿过圆$C$的圆心，则反射光线方程为$x - y = 0$
C. 若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是$5\sqrt{2}-1$
D. 若反射光线反射后被圆$C$遮挡，则在$x$轴上被挡住的范围是$[-\frac{3}{4},1]$

答案： BCD 点A(-3,3)关于x轴的对称点为$A'(-3,-3)$。圆的方程为$(x - 2)^{2}+(y - 2)^{2}=1$，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为$y + 3 = k(x + 3)$，即$kx - y + 3k - 3 = 0$。由反射光线与圆C相切知$\frac{|2k - 2 + 3k - 3|}{\sqrt{k^{2}+1}} = 1$，解得$k = \frac{4}{3}$或$k = \frac{3}{4}$。
∴反射光线方程为$y + 3 = \frac{4}{3}(x + 3)$或$y + 3 = \frac{3}{4}(x + 3)$，即$4x - 3y + 3 = 0$或$3x - 4y - 3 = 0$，故A错误；过$A'(-3,-3)$，C(2,2)的方程为$y = x$，故B正确；因为$|A'C|=\sqrt{(2 + 3)^{2}+(2 + 3)^{2}} = 5\sqrt{2}$，所以光线的最短路程为$5\sqrt{2}-1$，故C正确；由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1,0)和$(-\frac{3}{4},0)$，所以在x轴上被挡住的范围是$[-\frac{3}{4},1]$，故D正确。

13. 如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以$O$为圆心，以$45\sqrt{2}$ m为半径，$B$为公园入口，道路$AB$为东西方向，道路$AC$经过点$O$且向正北方向延伸，$OA = 10$ m，$AB = 100$ m，现计划从$B$处起修一条新路与道路$AC$相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为_______m.

答案：
$100\sqrt{2}$
解析 如图所示，当新路BD与圆O相切时，新路的长度最小，记切点为H，
∴|OH| = 45$\sqrt{2}$，连接OB，
∴|OB|=$\sqrt{|AB|^{2}+|OA|^{2}}=\sqrt{100^{2}+10^{2}} = 10\sqrt{101}$，
∵H为圆O的切点，
∴OH⊥BD，
∴|BH|=$\sqrt{|OB|^{2}-|OH|^{2}} = 55\sqrt{2}$，由题意可知，∠DAB = ∠OHD = 90°，∠ADB = ∠ODH，
∴△ABD∽△HOD，
∴$\frac{|OD|}{|BD|}=\frac{|DH|}{|AD|}=\frac{|OH|}{|AB|}$，
∴$\frac{|OD|}{55\sqrt{2}+|DH|}=\frac{|DH|}{10 + |OD|}=\frac{45\sqrt{2}}{100}$，解得|OD| = 90，|DH| = 45$\sqrt{2}$，故|BD| = |BH| + |HD| = 55$\sqrt{2}+45\sqrt{2}=100\sqrt{2}$。

14.（2024·山西运城期末）已知圆$C$经过坐标原点$O$，圆心在$x$轴正半轴上，且与直线$3x + 4y - 8 = 0$相切.
（1）求圆$C$的标准方程；
（2）直线$l:y = kx + 2$与圆$C$交于$A$，$B$两点.
①求$k$的取值范围；
②证明：直线$OA$与直线$OB$的斜率之和为定值.

答案： 解
(1)设圆C的圆心坐标为C(a,0)，其中a＞0。由题意知r = a，又圆C与直线3x + 4y - 8 = 0相切，则圆心C到此直线的距离为$\frac{|3a - 8|}{5}=r$，即$\frac{|3a - 8|}{5}=a$，解得a = 1，所以圆心C为(1,0)，r = 1，故圆C的标准方程为$(x - 1)^{2}+y^{2}=1$。
(2)①联立$\begin{cases}y = kx + 2\\(x - 1)^{2}+y^{2}=1\end{cases}$，得$(k^{2}+1)x^{2}+(4k - 2)x + 4 = 0$，因为直线l交圆C于A，B两点，所以$\Delta=(4k - 2)^{2}-16(k^{2}+1)＞0$，解得$k＜-\frac{3}{4}$。所以k的取值范围是$(-∞,-\frac{3}{4})$。
②证明：设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，由①得$x_{1}+x_{2}=-\frac{4k - 2}{k^{2}+1}$，$x_{1}x_{2}=\frac{4}{k^{2}+1}$，又$k_{OA}+k_{OB}=\frac{y_{1}}{x_{1}}+\frac{y_{2}}{x_{2}}=\frac{kx_{1}+2}{x_{1}}+\frac{kx_{2}+2}{x_{2}}=\frac{2(x_{1}+x_{2})}{x_{1}x_{2}}+2k=\frac{-\frac{8k - 4}{k^{2}+1}}{\frac{4}{k^{2}+1}}+2k=-2k + 1 + 2k = 1$，所以直线OA与直线OB的斜率之和为定值。

15.（逻辑推理）（多选）瑞士著名数字家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上. 这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”. 在$\triangle ABC$中，已知$AB = AC$，点$B(-2,4)$，点$C(5,-3)$，且其“欧拉线”与圆$M:(x - 5)^{2}+y^{2}=r^{2}$相切，则（ ）
A. “欧拉线”方程为$x - y + 1 = 0$
B. 圆$M$上的点到“欧拉线”的最大距离为$4\sqrt{2}$
C. 若点$(x,y)$在圆$M$上，则$x + y$的最小值是1
D. 若点$(x,y)$在圆$M$上，则$x^{2}+y^{2}-4x + 6y$的取值范围是$[-11,37]$

答案： BCD 因为AB = AC，故“欧拉线”即为BC的中垂线，又B(-2,4)，C(5,-3)，故BC的中点为$(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$，且$k_{BC}=\frac{7}{-7}=-1$，故BC的中垂线方程为$x - y - 1 = 0$，故A错误；因为圆$M:(x - 5)^{2}+y^{2}=r^{2}$与“欧拉线”相切，故$\frac{|5 - 0 - 1|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}=r$，所以圆M上的点到“欧拉线”的最大距离为2r = 4$\sqrt{2}$，故B正确；若点(x,y)在圆M上，设$x + y = t$，则$\frac{|5 - t|}{\sqrt{2}}≤2\sqrt{2}$，故1≤t≤9，故t的最小值为1，故C正确；因为点(x,y)在圆M上，故$(x - 5)^{2}+y^{2}=8$，即$x^{2}+y^{2}=10x - 17$，故$x^{2}+y^{2}-4x + 6y = 6(x + y)-17$，由C的判断可得1≤x + y≤9，故 - 11≤6(x + y)-17≤37，故D正确。故选BCD。