《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10. (2024·广东广州期末)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若E是BC的中点，F是CD的中点，求证：BF⊥AE.

答案：
证明 建立平面直角坐标系，如图所示，
则$B(4,0)$，$E(4,2)$，$F(2,4)$，$A(0,0)$，

所以斜率$k_{AE}=\frac{2 - 0}{4 - 0}=\frac{1}{2}$，$k_{BF}=\frac{4 - 0}{2 - 4}=-2$.
又$k_{AE}\cdot k_{BF}=\frac{1}{2}\times(-2)=-1$，所以$BF\perp AE$.

11. 在平面直角坐标系内有两点A(4,2)，B(1,-2)，在x轴上有点C，使∠ACB = 90°，则点C的坐标是（ ）
A. (3,0)
B. (0,0)
C. (5,0)
D. (0,0)或(5,0)

答案： D 设$C(a,0)$，则$\frac{2 - 0}{4 - a}\cdot\frac{-2 - 0}{1 - a}=-1$，解得$a = 0$或$a = 5$，$\therefore$点$C$的坐标为$(0,0)$或$(5,0)$. 故选 D.

12. 已知直线l₁过点(0,\frac{7}{3})与点(7,0)，直线l₂过点(2,1)与点(3,k + 1)，若l₁，l₂与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k的值为（ ）
A. -3
B. 3
C. -6
D. 6

答案： B 根据四点共圆的条件可知$l_1$与$l_2$是相互垂直的，$k_{l_1}=\frac{0-\frac{7}{3}}{7 - 0}=-\frac{1}{3}$，$k_{l_2}=\frac{k + 1 - 1}{3 - 2}=k$，$\therefore(-\frac{1}{3})\times k=-1$，$\therefore k = 3$.

13. 直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l₁的位置，此时直线l₁与l₂平行，且l₂是线段AB的垂直平分线，其中A(1,m - 1)，B(m,2)，则m =_______.

答案：
$4+\sqrt{3}$
解析 如图，直线$l_1$的倾斜角为$30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore$直线$l_1$的斜率$k_1=\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$.
由$l_1// l_2$知，直线$l_2$的斜率$k_2 = k_1=\sqrt{3}$，

$\therefore$直线$AB$的斜率存在，且$k_{AB}=-\frac{1}{k_2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore\frac{m - 1 - 2}{1 - m}=\frac{m - 3}{1 - m}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$m = 4+\sqrt{3}$.

14. 已知M(1,-1)，N(2,2)，P(3,0).
(1)若PQ⊥MN，PN//MQ，求点Q的坐标；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP = ∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.

答案： 解
(1) 设$Q(x,y)$，由已知得$k_{MN}=3$，
由$PQ\perp MN$，可得$k_{PQ}\cdot k_{MN}=-1$，
即$\frac{y}{x - 3}\times3=-1$. ①
由已知得$k_{PN}=-2$，由$PN// MQ$，
可得$k_{PN}=k_{MQ}$，即$\frac{y + 1}{x - 1}=-2$. ②
联立①②求解得$x = 0$，$y = 1$，即$Q(0,1)$.
(2) 设$Q(a,0)$，$\because\angle NQP=\angle NPQ$，$\therefore k_{NQ}=-k_{NP}$.
又$\because k_{NQ}=\frac{2}{2 - a}$，$k_{NP}=-2$，
$\therefore\frac{2}{2 - a}=2$，解得$a = 1$，$\therefore Q(1,0)$.
又$\because M(1,-1)$，$\therefore MQ\perp x$轴，
故直线$MQ$的倾斜角为$90^{\circ}$.

15. (逻辑推理)(多选)已知P(x₁,y₁)是直线l：f(x,y)=0上一点，Q(x₂,y₂)是l外一点，则对于以下两个方程：①f(x,y)+f(x₂,y₂)=0，②f(x,y)=f(x₁,y₁)+f(x₂,y₂)表示的直线描述正确的是（ ）
A. ①表示的直线是与l重合的直线
B. ①表示的直线是不过点Q且与l平行的直线
C. ②表示的直线是与l重合的直线
D. ②表示的直线是过点Q且与l平行的直线

答案： BD 因为$Q(x_2,y_2)$是$l$外一点，故设$f(x_2,y_2)=a\neq0$，所以由$f(x,y)+f(x_2,y_2)=0$得$f(x,y)+a = 0$，且$f(x_2,y_2)+a = 2a\neq0$. 故$f(x,y)+f(x_2,y_2)=0$表示的直线是不过点$Q$且与$l$平行的直线，B 正确. 因为$P(x_1,y_1)$是直线$l:f(x,y)=0$上一点，则$f(x_1,y_1)=0$，所以$f(x,y)=f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)=0 + a=a$. 又$f(x_2,y_2)=a$，所以$f(x,y)=f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)$表示的直线是过点$Q$且与$l$平行的直线，D 正确.