《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10.（2024·无锡期末）已知圆$C$满足圆心在直线$x + y = 0$上，且过圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}-2x + 10y - 24 = 0$与圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}+2x + 2y - 8 = 0$的交点$A$，$B$.
（1）求弦$AB$所在直线的方程；
（2）求圆$C$的方程.

答案： 10.解　
(1)因为圆$C_1:x²+y²−2x + 10y - 24 = 0$，圆$C_2:x²+y²+2x + 2y - 8 = 0$，且它们的交点为$A$，$B$，
故弦$AB$所在的直线方程为$x²+y²−2x + 10y - 24-(x²+y²+2x + 2y - 8)=0$，整理得$x - 2y + 4 = 0$。
(2)设圆$C$的方程为$x²+y²+2x + 2y - 8+\lambda(x - 2y + 4)=0$，整理得圆$C:x²+y²+(2 + \lambda)x+(2 - 2\lambda)y - 8 + 4\lambda = 0$，故圆心$C(-\frac{2 + \lambda}{2},\lambda - 1)$。因为$C$在直线$x + y = 0$上，所以$-\frac{2 + \lambda}{2}+\lambda - 1 = 0$，故$\lambda = 4$，故圆$C:x²+y²+6x - 6y + 8 = 0$。

11. 设两圆$C_{1}$，$C_{2}$都和两坐标轴相切，且都过点$(4,1)$，则两圆心的距离$\vert C_{1}C_{2}\vert =$（ ）
A. 4
B. $4\sqrt{2}$
C. 8
D. $8\sqrt{2}$

答案： 11.C　由题意知，圆心在直线$y = x$上，并且在第一象限，设圆心坐标为$(a,a)(a\gt0)$，则$a = \sqrt{(a - 4)²+(a - 1)²}$，即$a² - 10a + 17 = 0$，设两圆心分别为$C_1(a_1,a_1)$，$C_2(a_2,a_2)$，所以由两点间的距离公式可求出$\vert C_1C_2\vert=\sqrt{2[(a_1 + a_2)² - 4a_1a_2]}=\sqrt{2\times(100 - 4\times17)} = 8$。

12. 过圆$M:(x - 1)^{2}+y^{2}=4$内一点$A(2,1)$作一弦交圆于$B$，$C$两点，过点$B$，$C$分别作圆的切线$PB$，$PC$，两切线交于点$P$，则点$P$的轨迹方程为（ ）
A. $y - 5 = 0$
B. $x + y + 5 = 0$
C. $x + y - 5 = 0$
D. $x - y - 5 = 0$

答案： 12.C　设$P$点坐标为$(x_0,y_0)$，根据圆的直径式方程知，以$MP$为直径的圆的方程为$(x - 1)(x - x_0)+y(y - y_0)=0$，两圆方程作差可得公共弦$BC$所在直线的方程为$(x_0 - 1)x + y_0y - x_0 - 3 = 0$，而$A(2,1)$在直线$BC$上，
∴$x_0 + y_0 - 5 = 0$，故点$P$的轨迹方程为$x + y - 5 = 0$，故选C。

13. 若$\odot O:x^{2}+y^{2}=5$与$\odot O_{1}:(x - m)^{2}+y^{2}=20(m\in\mathbf{R})$相交于$A$，$B$两点，且两圆在点$A$处的切线互相垂直，则线段$AB$的长度为_______.

答案： 13.4
解析　如图所示，在$Rt\triangle OO_1A$
中，$\vert OA\vert=\sqrt{5}$，$\vert O_1A\vert=2\sqrt{5}$，
∴$\vert OO_1\vert = 5$，
∴$\vert AC\vert=\frac{\sqrt{5}\times2\sqrt{5}}{5}=2$，
∴$\vert AB\vert = 4$。

14. 已知圆$C$的圆心在直线$l:2x - y = 0$上，且与直线$l_{1}:x - y + 1 = 0$相切.
（1）若圆$C$与圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}-2x - 4y - 76 = 0$外切，求圆$C$的半径；
（2）满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线$l_{1}$相切，我们称$l_{1}$是这些圆的公切线，这些圆是否还有其他公切线？若有，求出其方程，若没有，说明理由.

答案： 14.解　
(1)设圆$C$的圆心坐标为$(a,2a)$，则其半径$r=\frac{\vert a - 2a + 1\vert}{\sqrt{1² + 1²}}=\frac{\vert a - 1\vert}{\sqrt{2}}$，由题意知圆$C_1$的圆心为$C_1(1,2)$，半径为$r_1 = 9$，则圆$C$与圆$C_1$的圆心距为$\sqrt{(a - 1)²+(2a - 2)²}=\sqrt{5}\vert a - 1\vert=\sqrt{10}r$，因为圆$C$与圆$C_1$外切，所以$\sqrt{10}r = r + 9$，所以$r=\sqrt{10}+1$。
(2)若存在另一条公切线$l_2$，则它必过$l$与$l_1$的交点$(1,2)$，设圆心$C(a,2a)$。
①若斜率不存在，则直线$l_2$的方程为$x = 1$，圆$C$的圆心到它的距离$d = \vert a - 1\vert = r=\frac{\vert a - 1\vert}{\sqrt{2}}$，因为等式$\vert a - 1\vert=\frac{\vert a - 1\vert}{\sqrt{2}}$对任意的$a$不恒成立，所以直线$x = 1$不是公切线。
②若斜率存在，设$l_2$的方程为$y - 2 = k(x - 1)$，即$k(x - 1) - y + 2 = 0$，则圆心$C$到直线$l_2$的距离$d=\frac{\vert ka - 2a + 2 - k\vert}{\sqrt{1 + k²}} = r=\frac{\vert a - 1\vert}{\sqrt{2}}$对任意的$a$都成立，
$\frac{\vert (k - 2)(a - 1)\vert}{\sqrt{1 + k²}}=\frac{\vert a - 1\vert}{\sqrt{2}}$对任意的$a$都成立，
所以$\frac{\vert k - 2\vert}{\sqrt{1 + k²}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，两边平方并化简得$k² - 8k + 7 = 0$，解得$k = 1$或$k = 7$。
当$k = 1$时，直线$l_2$与$l_1$重合，当$k = 7$时，直线$l_2$的方程为$7x - y - 5 = 0$，故还存在一条公切线，其方程为$7x - y - 5 = 0$。

15.（文化情境命题）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数$k(k ＞ 0$且$k\neq1)$的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆. 已知$O(0,0)$，$A(3,0)$，圆$C:(x - 2)^{2}+y^{2}=r^{2}(r ＞ 0)$上有且仅有一个点$P$满足$\vert PA\vert = 2\vert PO\vert$，则$r$的值为_______.

答案： 15.1或5
解析　设动点$P(x,y)$，由$\vert PA\vert = 2\vert PO\vert$，得$(x - 3)²+y² = 4x²+4y²$，整理得$(x + 1)²+y² = 4$，又点$P$是圆$C:(x - 2)²+y² = r²(r\gt0)$上有且仅有的一点，所以两圆相切。圆$(x + 1)²+y² = 4$的圆心坐标为$(-1,0)$，半径为$2$，圆$C:(x - 2)²+y² = r²(r\gt0)$的圆心坐标为$(2,0)$，半径为$r$，两圆的圆心距为$3$，当两圆外切时，$r + 2 = 3$，得$r = 1$，当两圆内切时，$\vert r - 2\vert = 3$，又$r\gt0$，得$r = 5$。故$r$的值为$1$或$5$。