《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 已知点A(2,0,1)，B(4,2,3)，P是AB的中点，则点P的坐标为（ ）
A. (3,1,2)
B. (3,1,4)
C. (0, -2, -1)
D. (6,4,5)

答案： 1.A　由中点坐标公式知P点坐标为($\frac{2+4}{2}$,$\frac{0+2}{2}$,$\frac{1+3}{2}$),即P(3,1,2).

2. 在空间直角坐标系中，点(3,2, -1)关于Oxy平面的对称点为点A，点(2, -1,1)关于坐标原点O的对称点为点B，则$\overrightarrow{AB}$的坐标为（ ）
A. (-5, -1, -2)
B. (3,2,1)
C. (-2,1, -1)
D. (5,1,2)

答案： 2.A　由题易得A(3,2,1),B(−2,1,−1),设单位正交基底为{i,j,k}，则$\overrightarrow{OA}=3i + 2j + k$，$\overrightarrow{OB}=-2i + j - k$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=-5i - j - 2k$，故$\overrightarrow{AB}=(-5,-1,-2)$。

3. (2024·邢台期末)在空间直角坐标系中，点P(2, -1,3)关于点M(-1,2,3)的对称点Q的坐标为（ ）
A. (4,1,1)
B. (-4,5,3)
C. (4, -3,1)
D. (-5,3,4)

答案： 3.B　设在空间直角坐标系中,点P(2,−1,3)关于点M(−1,2,3)的对称点Q的坐标为(a,b,c),则$\begin{cases}\frac{2 + a}{2}=-1\\\frac{-1 + b}{2}=2\\\frac{3 + c}{2}=3\end{cases}$，解得a = - 4，b = 5，c = 3，$\therefore$点Q的坐标为(−4,5,3)，故选B。

4. 如图，在长方体OABC - $O_1A_1B_1C_1$中，OA = 3，OC = 5，$OO_1$ = 4，点P是$B_1C_1$的中点，则点P的坐标为（ ）

A. (3,5,4)
B. $(\frac{3}{2},3,4)$
C. $(\frac{3}{2},5,4)$
D. $(5,\frac{3}{2},2)$

答案： 4.C　设点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P₁，P₂，P₃，它们在坐标轴上的坐标分别是$\frac{3}{2}$，5，4，故点P的坐标是($\frac{3}{2}$,5,4)。

5. 如图，在正方体ABCD - $A_1B_1C_1D_1$中，若点M是侧面$CDD_1C_1$的中心，则$\overrightarrow{AM}$在基底$\{\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}\}$下的坐标为（ ）

A. $(\frac{1}{2},1, -\frac{1}{2})$
B. $(\frac{1}{2}, -1,\frac{1}{2})$
C. $(-\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})$
D. $(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})$

答案： 5.D　连接DC₁，由题可知，M为DC₁的中点，$\therefore\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{DD₁}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA₁}+\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA₁}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\therefore\overrightarrow{AM}$在基底{$\overrightarrow{AA₁}$,$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{AB}$}下的坐标为($\frac{1}{2}$,1,$\frac{1}{2}$)。故选D。

6. (多选)如图，在长方体OABC - $O'A'B'C'$中，OA = 1，OC = 3，$OO'$ = 2，点E在线段AO的延长线上，且$OE=\frac{1}{2}$，以$\{\overrightarrow{OA},\frac{1}{3}\overrightarrow{OC},\frac{1}{2}\overrightarrow{OO'}\}$为单位正交基底建立空间直角坐标系，则下列向量坐标表示正确的是（ ）

A. $\overrightarrow{OC}=(3,0,0)$
B. $\overrightarrow{CB'}=(1,0,2)$
C. $\overrightarrow{EB'} = (\frac{3}{2},3,2)$
D. $\overrightarrow{EC}=(-\frac{1}{2},3,0)$

答案： 6.BC　因为点C在y轴上且OC = 3，所以$\overrightarrow{OC}=0i + 3j+0k=(0,3,0)$，A不正确；B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，O'，它们在坐标轴上的坐标分别为1，3，2，所以B'(1,3,2)，所以$\overrightarrow{CB'}=\overrightarrow{OB'}-\overrightarrow{OC}=i + 0j + 2k=(1,0,2)$，B正确；E在x轴的负半轴上且OE=$\frac{1}{2}$，所以E(−$\frac{1}{2}$,0,0)，所以$\overrightarrow{EB'}=\overrightarrow{OB'}-\overrightarrow{OE}=\frac{3}{2}i + 3j + 2k=(\frac{3}{2},3,2)$，C正确；$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}i + 3j + 0k=(\frac{1}{2},3,0)$，D不正确。

7. 在空间直角坐标系中，点P(1,a,b)与点Q(c, -2,4)关于原点对称，则abc = ________.

答案： 7.8
解析
∵点P(1,a,b)与点Q(c,−2,4)关于原点对称,
∴a = 2，b = - 4，c = - 1，则abc=2×(−4)×(−1)=8。

8. 已知O为坐标原点，点A的坐标为(-1,3,0)，点B的坐标为(0,1,1)，则$\cos\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\rangle$ = ________.

答案： 8.$\frac{3\sqrt{5}}{10}$
解析　设单位正交基底为{i,j,k}，由题设知$\overrightarrow{OA}=(-1,3,0)=-i + 3j$，$\overrightarrow{OB}=(0,1,1)=j + k$，故$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{(-i + 3j)^2}=\sqrt{10}$，$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{(j + k)^2}=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=(-i + 3j)\cdot(j + k)=3$。所以$\cos\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\rangle=\frac{3}{\sqrt{10}\times\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}$。

9. (2023·山东青岛联考)已知长方体ABCD - $A_1B_1C_1D_1$中，$\vert AB\vert=\vert BC\vert = 2$，$\vert D_1D\vert = 3$，点N是AB的中点，点M是$B_1C_1$的中点. 以$\{\frac{1}{2}\overrightarrow{DA},\frac{1}{2}\overrightarrow{DC},\frac{1}{3}\overrightarrow{DD_1}\}$为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)写出$\overrightarrow{MD},\overrightarrow{MN}$的坐标.

答案： 9.解　
(1)由题意，得点D为坐标原点，所以D(0,0,0)。因为$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=2i + j + 0k$，所以点N的坐标为(2,1,0)。因为$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC₁}=i + 2j + 3k$，所以点M的坐标为(1,2,3)。
(2)$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DN}-\overrightarrow{DM}=2i + j + 0k - i - 2j - 3k=i - j - 3k=(1,-1,-3)$，$\overrightarrow{MD}=-\overrightarrow{DM}=-i - 2j - 3k=(-1,-2,-3)$。