《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 直线$ax + y - 1 = 0$的倾斜角为$30^{\circ}$，则$a =$（ ）
A. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $-\sqrt{3}$
D. $\sqrt{3}$

答案： 1.A　由已知得直线的斜率k=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=−a,
∴a=−$\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. 在直角坐标系中，直线$x - 2y + 3 = 0$经过（ ）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限

答案： 2.A　在x−2y+3=0中,令x=0可得y=$\frac{3}{2}$,令y=0可得x=−3,即直线x−2y+3=0过点(0,$\frac{3}{2}$),(−3,0),
　所以直线x−2y+3=0经过第一、二、三象限.故选A.

3. 设$a\in\mathbf{R}$，直线$ax + 2y - 1 = 0$与直线$x + ay + 1 = 0$平行，则$a =$（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $-\sqrt{2}$
C. $\pm\sqrt{2}$
D. $\pm1$

答案： 3.C　因为直线ax+2y−1=0与直线x+ay+1=0平行,所以a²=2,即a=±√2,经检验,满足题意.

4.（2024·山东枣庄第八中学月考）已知直线$l$经过点$A(0,4)$，且与直线$2x - y - 3 = 0$垂直，则直线$l$的方程是（ ）
A. $2x - y + 4 = 0$
B. $x + 2y + 8 = 0$
C. $2x - y - 4 = 0$
D. $x + 2y - 8 = 0$

答案： 4.D　因为直线2x−y−3=0的斜率为2,直线l与该直线垂直,所以直线l的斜率k=−$\frac{1}{2}$
　又直线l经过点A(0,4),所以直线l的方程为y−4=
　$-\frac{1}{2}$x,即x+2y−8=0.故选D.

5.（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 直线$y = ax - 2a + 4(a\in\mathbf{R})$必过定点$(2,4)$
B. 直线$y + 1 = 3x$在$y$轴上的截距为$1$
C. 直线$x + \sqrt{3}y + 1 = 0$的倾斜角为$120^{\circ}$
D. 过点$(-2,3)$且垂直于直线$x - 2y + 3 = 0$的直线方程为$2x + y + 1 = 0$

答案： 5.AD　直线y=ax−2a+4(a∈R),即y=a(x−2)+4,恒过点(2,4),A正确;直线y+1=3x,即y=3x−1,在y轴上的截距为−1,B不正确;直线x+$\sqrt{3}$y+1=0的斜率k=−$\frac{\sqrt{3}}{3}$,其倾斜角为150°,C不正确;直线x−2y十3=0的斜率为$\frac{1}{2}$,则垂直于直线x−2y+3=0的直线斜率为−2,又该直线过点(−2,3),所以直线方程为y - 3=−2(x + 2),即2x + y + 1 = 0,D正确.

6.（多选）已知三条直线$3x + 2y + 6 = 0$，$2x - 3m^{2}y + 18 = 0$和$2mx - 3y + 12 = 0$围成一个直角三角形，则$m$的值可能是（ ）
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $-\frac{4}{9}$

答案： 6.ABD　当直线3x+2y+6=0与直线2x−3m²y+18=0 垂直时,m=±1,但当m=1时,直线2x−3m²y+18=0 和直线2mx−3y+12=0平行,故m=−1.当直线3x+2y+6=0与直线2mx−3y+12=0垂直时,得m=1,不符合题意.当直线2x−3m²y+18=0与直线2mx−3y+12=0垂直时,得m=0或m=−$\frac{4}{9}$.经检验，当m=−1,0,−$\frac{4}{9}$时，三条直线均不交于同一点，故选ABD.

7. 设直线$l$的方程为$2x + (k - 3)y - 2k + 6 = 0(k\neq3)$，若直线$l$的斜率为$-1$，则$k =$_______；若直线$l$在$x$轴、$y$轴上的截距之和等于$0$，则$k =$_______.

答案： 7.5　1
　解析　①因为k≠3,所以直线l的斜率存在,所以直线l 的方程可化为y=−$\frac{2}{k−3}$x+2,
　由题意得−$\frac{2}{k−3}$=−1,解得k=5.
　②直线l的方程可化为$\frac{x}{k−3}$+$\frac{y}{2}$=1,由题意得k−3+2=0,解得k=1.

8. 若直线$l$与直线$y = 1$，$x = 7$分别交于点$P$，$Q$，且线段$PQ$的中点坐标为$(1,0)$，则直线$l$的一般式方程是___________.

答案： 8.x+6y−1=0
　解析　由题意得$x_P + 7 = 2$，则$x_P = -5$，$y_Q + 1 = 0$，则$y_Q = -1$，即$P(-5,1)$，$Q(7,-1)$，则$k_{PQ} = \frac{-1 - 1}{7 - (-5)} = -\frac{1}{6}$，所以直线$l$的方程是$y = -\frac{1}{6}(x - 1)$，即$x + 6y - 1 = 0$.

9. 设直线$l$的方程为$(m^{2} - 2m - 3)x + (2m^{2} + m - 1)y = 2m - 6$，根据下列条件分别求$m$的值.
（1）在$x$轴上的截距为$1$；
（2）斜率为$1$；
（3）经过定点$P(-1,-1)$.

答案： 9.解　
(1)由题意得直线过点$(1,0)$，
∴$m^{2} - 2m - 3 = 2m - 6$，解得$m = 3$或$m = 1$.
　又
∵$m = 3$时，直线$l$的方程为$y = 0$，不符合题意，
∴$m = 1$.
(2)由直线的斜率为$1$，得$-\frac{m^{2} - 2m - 3}{2m^{2} + m - 1} = 1$，且$2m^{2} + m - 1 \neq 0$，
解得$m = \frac{4}{3}$.
(3)直线过定点$P(-1,-1)$，则$-(m^{2} - 2m - 3) - (2m^{2} + m - 1) = 2m - 6$，解得$m = \frac{5}{3}$或$m = -2$.