《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1.（2023·山东潍坊期中）与椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$有相同焦点，且过点$(3,\sqrt{15})$的椭圆方程为（ ）
A.$\frac{y^{2}}{36}+\frac{x^{2}}{20}=1$
B.$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$
C.$\frac{y^{2}}{20}+\frac{x^{2}}{18}=1$
D.$\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{18}=1$

答案： 1.B
由题意可设椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{25 + \lambda}+\frac{y^{2}}{9+\lambda}=1(\lambda＞-9)$。又所求椭圆过点$(3,\sqrt{15})$，所以将$(3,\sqrt{15})$代入椭圆方程，得$\frac{9}{25+\lambda}+\frac{15}{9+\lambda}=1$，解得$\lambda = 11(\lambda=-21$舍去$)$。故所求的椭圆方程为$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$。

2.（2023·浙江温州十校联考）已知曲线$C$：$\frac{x^{2}}{k - 5}+\frac{y^{2}}{3 - k}=-1$，则“$4\leqslant k\lt5$”是“曲线$C$表示焦点在$y$轴上的椭圆”的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： 2.A
将曲线$C$的方程化为$\frac{x^{2}}{5 - k}+\frac{y^{2}}{k - 3}=1$，若曲线$C$表示焦点在$y$轴上的椭圆，则$k - 3＞5 - k＞0$，即$4＜k＜5$，故“$4\leqslant k＜5$”是“曲线$C$表示焦点在$y$轴上的椭圆”的必要不充分条件。

3. 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，上、下顶点分别为$A,B$. 若四边形$AF_2BF_1$是正方形且面积为$4$，则椭圆$C$的方程为（ ）
A.$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$
B.$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$
C.$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
D.$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$

答案： 3.A
由四边形$AF_{2}BF_{1}$是正方形可得$b = c$，由四边形$AF_{2}BF_{1}$的面积为$4$可得$\frac{1}{2}\cdot2c\cdot2b = 4$，即$bc = 2$，$\therefore b^{2}=c^{2}=2$。又$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，$\therefore a^{2}=4$，$\therefore$椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$。

4.（2024·广东华南师大附中月考）椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)$的左、右焦点分别是$F_1,F_2$，以$F_2$为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点$P$，若直线$PF_1$恰好与圆$F_2$相切于点$P$，则椭圆的离心率为（ ）
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
C.$\sqrt{3}-1$
D.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

答案： 4.C
由题意知$\vert PF_{2}\vert = c$，$PF_{1}\perp PF_{2}$，所以$\vert PF_{1}\vert=\sqrt{\vert F_{1}F_{2}\vert^{2}-\vert PF_{2}\vert^{2}}=\sqrt{(2c)^{2}-c^{2}}=\sqrt{3}c$，所以$\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert=\sqrt{3}c + c = 2a$，所以离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$。故选$C$。

5. 关于椭圆$C:\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1$，有下列四个命题：甲：$m = 4$；乙：$n = 9$；丙：$C$的焦距为$6$；丁：$C$的焦点在$x$轴上. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁

答案： 5.A
当甲、乙为真命题时，椭圆方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$，椭圆的焦距为$2c = 2\sqrt{9 - 4}=2\sqrt{5}$，且焦点在$y$轴上，此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题。当乙、丙和丁是真命题时，$b=\sqrt{9}=3$，$2c = 6$，即$c = 3$，$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}=9 + 9 = 18$，此时椭圆方程为$\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$，符合题意，故甲是假命题。故选$A$。

6.（2023·河南南阳六校联考）已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$是椭圆$C$上的动点，$m = |PF_1|$，$n = |PF_2|$，则$\frac{2}{m}+\frac{8}{n}$的最小值为（ ）
A.$\frac{5}{8}$
B.$\frac{20 - 3\sqrt{7}}{9}$
C.$\frac{9}{4}$
D.$\frac{20 + 3\sqrt{7}}{9}$

答案： 6.C
由椭圆方程知$a = 4$，则由椭圆定义得$m + n = 2a = 8$，$\therefore\frac{2}{m}+\frac{8}{n}=\frac{1}{8}(\frac{2}{m}+\frac{8}{n})(m + n)=\frac{1}{8}(10+\frac{2n}{m}+\frac{8m}{n})\geqslant\frac{1}{8}(10 + 2\sqrt{\frac{2n}{m}\cdot\frac{8m}{n}})=\frac{9}{4}$（当且仅当$\frac{2n}{m}=\frac{8m}{n}$，即$n = 2m=\frac{16}{3}$时取等号），$\therefore\frac{2}{m}+\frac{8}{n}$的最小值为$\frac{9}{4}$。故选$C$。

7. 已知点$A(4,0)$，$B(0,4)$，直线$l:x=\frac{25}{4}$，动点$P$到点$A$的距离和它到直线$l$的距离之比为$4:5$，则$|PB|$的最大值是（ ）
A.$\sqrt{41}$
B. 7
C.$5\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{13}$

答案： 7.C
设点$P(x,y)$，由题意可得$\frac{\sqrt{(x - 4)^{2}+y^{2}}}{\vert x-\frac{25}{4}\vert}=\frac{4}{5}$，整理得$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$，则$x^{2}=25-\frac{25}{9}y^{2}$，其中$-3\leqslant y\leqslant3$，所以$\vert PB\vert=\sqrt{x^{2}+(y - 4)^{2}}=\sqrt{25-\frac{25}{9}y^{2}+y^{2}-8y + 16}=\sqrt{-\frac{16}{9}y^{2}-8y + 41}=\sqrt{-\frac{16}{9}(y+\frac{9}{4})^{2}+50}$，所以当$y = -\frac{9}{4}$时，$\vert PB\vert$取得最大值，即$\vert PB\vert_{max}=5\sqrt{2}$。故选$C$。

8. 椭圆$C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右顶点分别为$A_1$，$A_2$，点$P$在$C$上且直线$PA_2$斜率的取值范围是$[-2,-1]$，那么直线$PA_1$斜率的取值范围是（ ）
A.$[\frac{1}{2},\frac{3}{4}]$
B.$[\frac{3}{8},\frac{3}{4}]$
C.$[\frac{1}{2},1]$
D.$[\frac{3}{4},1]$

答案： 8.B
由题意得$A_{1}(-2,0)$，$A_{2}(2,0)$，设$P(x_{0},y_{0})$。因为点$P$在椭圆$C$上，所以$\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{3}=1$，则$k_{PA_{1}}\cdot k_{PA_{2}}=\frac{y_{0}}{x_{0}+2}\cdot\frac{y_{0}}{x_{0}-2}=\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-4}=\frac{3(4 - x_{0}^{2})}{4(x_{0}^{2}-4)}=-\frac{3}{4}$。又$k_{PA_{2}}\in[-2,-1]$，则$k_{PA_{1}}=-\frac{3}{4k_{PA_{2}}}\in[\frac{3}{8},\frac{3}{4}]$，故选$B$。

9. 椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点到直线$y = \sqrt{3}x$的距离是________.

答案： 9. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析：已知椭圆的右焦点为$(1,0)$，它到直线$\sqrt{3}x - y = 0$的距离为$\frac{\vert\sqrt{3}-0\vert}{\sqrt{3 + 1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

10. 设椭圆$\Gamma:\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a\gt1)$，直线$l$过$\Gamma$的左顶点$A$交$y$轴于点$P$，交$\Gamma$于点$Q$，若$\triangle AOP$为等腰三角形（$O$为坐标原点），且$Q$是$AP$的中点，则$\Gamma$的长轴长等于________.

答案： 10. $2\sqrt{3}$
解析：设$Q(x_{0},y_{0})$，由题意可得$A(-a,0)$，由$\triangle AOP$为等腰三角形及对称性可设$P(0,a)$。$\because Q$是$AP$的中点，$\therefore x_{0}=-\frac{a}{2}$，$y_{0}=\frac{a}{2}$，代入椭圆方程可得$\frac{\frac{a^{2}}{4}}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{4}=1$，解得$a=\sqrt{3}$，$\therefore$椭圆$\Gamma$的长轴长等于$2\sqrt{3}$。

11. 写出一个长轴长等于离心率$8$倍的椭圆的标准方程：________________.

答案： 11. $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$（答案不唯一）
解析：不妨设椭圆的焦点在$x$轴上，椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，因为长轴长等于离心率的$8$倍，所以$2a = 8\cdot\frac{c}{a}$，即$a^{2}=4c$，不妨令$c = 1$，则$a^{2}=4$，$b^{2}=3$，所以满足条件的一个椭圆方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。