《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 点(2,1)到直线l：x - 2y + 2 = 0的距离是（ ）
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4\sqrt{3}}{5}$
D. $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

答案： B 点$(2,1)$到直线$l:x - 2y + 2 = 0$的距离为$d=\frac{|1\times2 - 2\times1 + 2|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. 故选 B.

2. 已知直线$l_1$：x - y + 1 = 0和直线$l_2$：x - y + 3 = 0，则$l_1$与$l_2$之间的距离是（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. 2
D. $2\sqrt{2}$

答案： A 根据题意知直线$l_{1}$与$l_{2}$平行, 由两平行线间的距离公式得$d=\frac{|1 - 3|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2}$. 故选 A.

3. (2023·山东潍坊质检)点$P(x_0,y_0)$到直线x = 1的距离为1，则$x_0$ = （ ）
A. 0或2
B. 1或2
C. 0
D. 2

答案： A 因为点$P(x_{0},y_{0})$到直线$x = 1$的距离为 1, 所以$|x_{0}-1| = 1$, 解得$x_{0}=0$或$x_{0}=2$. 故选 A.

4. 两条平行直线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是（ ）
A. 0 ＜ d ≤ 3
B. 0 ＜ d ≤ 5
C. 0 ＜ d ＜ 4
D. 3 ≤ d ≤ 5

答案： B 当两条平行直线与$AB$垂直时, 两条平行直线间的距离最大, 最大距离为$|AB| = 5$, 所以$0\lt d\leqslant5$.

5. 已知直线l：3x - 2y + 5 = 0，P(m,n)为直线l上的动点，则$(m + 1)^2 + n^2$的最小值为（ ）
A. $\frac{2\sqrt{13}}{13}$
B. $\frac{3\sqrt{13}}{13}$
C. $\frac{4}{13}$
D. $\frac{3}{13}$

答案： C 由题意得$(m + 1)^{2}+n^{2}$表示$P(m,n)$到$(-1,0)$的距离的平方, 而$P(m,n)$为直线$l$上的动点, 所以$(m + 1)^{2}+n^{2}$的最小值, 即为$(-1,0)$到直线$l:3x - 2y + 5 = 0$距离的平方的最小值, 即$\left[\frac{|3\times(-1)-2\times0 + 5|}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}}\right]^{2}=\frac{4}{13}$, 故选 C.

6. 若动点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$分别在直线$l_1$：x + y - 7 = 0和$l_2$：x + y - 5 = 0上移动，则AB中点到原点距离的最小值为（ ）
A. $3\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}$

答案： A 由直线$l_{1}:x + y - 7 = 0$和$l_{2}:x + y - 5 = 0$, 可得$l_{1}// l_{2}$, 又原点$O$到直线$l_{1}$的距离$d_{1}=\frac{|-7|}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$, 原点$O$到直线$l_{2}$的距离$d_{2}=\frac{|-5|}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$, 所以$AB$的中点到原点的距离的最小值为$\frac{\frac{7\sqrt{2}}{2}+\frac{5\sqrt{2}}{2}}{2}=3\sqrt{2}$.

7. 在直线x + 3y = 0上有一点，它到原点的距离和到直线x + 3y + 2 = 0的距离相等，则此点的坐标是________________.

答案： $\left(-\frac{3}{5},\frac{1}{5}\right)$或$\left(\frac{3}{5},-\frac{1}{5}\right)$
解析 由题意可设所求点的坐标为$(-3a,a)$, 因为直线$x + 3y = 0$与直线$x + 3y + 2 = 0$平行, 所以两平行线间的距离为$\frac{|2 - 0|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$, 根据题意有$\sqrt{(-3a)^{2}+a^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$, 解得$a=\pm\frac{1}{5}$, 所以所求点的坐标为$\left(-\frac{3}{5},\frac{1}{5}\right)$或$\left(\frac{3}{5},-\frac{1}{5}\right)$.

8. 已知直线$l_1$：(k - 3)x + (4 - k)y + 1 = 0与直线$l_2$：2(k - 3)x - 2y + 3 = 0平行，则$l_1$与$l_2$间的距离为________.

答案： $\frac{5}{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{10}$
解析 $\because l_{1}// l_{2}$,
$\therefore\begin{cases}(k - 3)\times(-2)-2(k - 3)(4 - k)=0,\\(-2)\times1-(4 - k)\times3\neq0,\end{cases}$
解得$k = 3$或$k = 5$.
当$k = 3$时,$l_{1}:y=-1$,$l_{2}:y=\frac{3}{2}$, 此时$l_{1}$与$l_{2}$间的距离为$\frac{5}{2}$;
当$k = 5$时,$l_{1}:2x - y + 1 = 0$, 即$l_{1}:4x - 2y + 2 = 0$,$l_{2}:4x - 2y + 3 = 0$, 此时$l_{1}$与$l_{2}$间的距离为$\frac{|3 - 2|}{\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$.

9. 如图所示，已知直线$l_1$：x + y - 1 = 0，现将直线$l_1$向上平移到直线$l_2$的位置，若$l_2$，$l_1$和坐标轴围成的梯形面积为4，求$l_2$的方程.

答案： 解 设$l_{2}$的方程为$y=-x + b(b\gt1)$,
则题图中$A(1,0)$,$D(0,1)$,$B(b,0)$,$C(0,b)$,
所以$|AD|=\sqrt{2}$,$|BC|=\sqrt{2}b$.
梯形的高$h$等于点$A$到直线$l_{2}$的距离,
故$h=\frac{|1 + 0 - b|}{\sqrt{2}}=\frac{b - 1}{\sqrt{2}}(b\gt1)$,
由梯形面积公式得$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}b}{2}\times\frac{b - 1}{\sqrt{2}} = 4$,
所以$b^{2}=9$,$b=\pm3$. 又$b\gt1$, 所以$b = 3$,
故直线$l_{2}$的方程为$y=-x + 3$, 即$x + y - 3 = 0$.