《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10. 已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示出向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$的坐标.

答案：
10.解　过点A作AG垂直平面BCD于点G，易知G为△BCD的中心，过点G作GF//CD，延长BG交CD于点E，则E为CD的中点。以G为坐标原点，GF，GE，GA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系G - xyz。
因为△BCD的边长为1，所以BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，又$\frac{GF}{CE}=\frac{2}{3}$，所以GF=$\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，又BG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以AG=$\sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
设单位正交基底为{e₁,e₂,e₃}，则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}=-\frac{\sqrt{3}}{3}e₂-\frac{\sqrt{6}}{3}e₃=(0,-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{3})$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{GA}=\frac{\sqrt{3}}{6}e₂+\frac{1}{2}e₁-\frac{\sqrt{6}}{3}e₃=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{3})$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{GD}-\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{ED}-\overrightarrow{GA}=\frac{\sqrt{3}}{6}e₂-\frac{1}{2}e₁-\frac{\sqrt{6}}{3}e₃=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{3})$。

11. 已知在长方体ABCD - $A_1B_1C_1D_1$中，向量$\boldsymbol{a}$在基底$\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\}$下的坐标为(2,1, -3)，则向量$\boldsymbol{a}$在基底$\{\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DD_1}\}$下的坐标为（ ）
A. (2,1, -3)
B. (-1,2, -3)
C. (1, -8,9)
D. (-1,8, -9)

答案： 11.B　因为a = 2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$-3$\overrightarrow{AA₁}$=2$\overrightarrow{DC}$-$\overrightarrow{DA}$-3$\overrightarrow{DD₁}$=-$\overrightarrow{DA}$+2$\overrightarrow{DC}$-3$\overrightarrow{DD₁}$，所以向量a在基底{$\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{DC}$,$\overrightarrow{DD₁}$}下的坐标为(−1,2,−3)。故选B。

12. 已知$\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$为空间的一个单位正交基底，且$\boldsymbol{a}=-2\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}-2\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}-6\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{c}=x\boldsymbol{i}-8\boldsymbol{j}+8\boldsymbol{k}$，若向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$共面，则向量$\boldsymbol{c}$的坐标为（ ）
A. (8, -8,8)
B. (-8, -8,8)
C. (-6, -8,8)
D. (6, -8,8)

答案： 12.A
∵a，b，c共面，
∴可设c = λa + μb，
∴xi - 8j + 8k = λ(−2i + 2j - 2k)+μ(i + 4j - 6k)，由此可得$\begin{cases}x=-2\lambda+\mu\\-8 = 2\lambda+4\mu\\8=-2\lambda-6\mu\end{cases}$，解得x = 8。则向量c的坐标为(8,−8,8)，故选A。

13. 如图，三棱锥P - ABC中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，AB = BC = PB = 1，M为PC的中点，N为AC的中点，以$\{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP}\}$为单位正交基底建立空间直角坐标系，则$\overrightarrow{MN}$的坐标为________.

答案： 13.($\frac{1}{2}$,0,−$\frac{1}{2}$)
解析　连接BM，BN，则$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})-\frac{1}{2}(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}i + 0j-\frac{1}{2}k$，即$\overrightarrow{MN}=(\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2})$。

14. 已知正方体ABCD - $A_1B_1C_1D_1$的棱长为2，E，F分别为棱$BB_1$，$DC$的中点，以$\{\frac{1}{2}\overrightarrow{DA},\frac{1}{2}\overrightarrow{DC},\frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1}\}$为单位正交基底，建立空间直角坐标系如图所示.
(1)写出正方体ABCD - $A_1B_1C_1D_1$各顶点的坐标；
(2)写出向量$\overrightarrow{EF},\overrightarrow{B_1F},\overrightarrow{A_1E}$的坐标；
(3)求向量$\overrightarrow{A_1C}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影向量的坐标.

答案： 14.解　
(1)由题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A₁(2,0,2)，B₁(2,2,2)，C₁(0,2,2)，D₁(0,0,2)。
(2)因为E，F分别为棱BB₁，DC的中点，所以E(2,2,1)，F(0,1,0)，$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DE}=-2i - j - k=(-2,-1,-1)$，同理可得$\overrightarrow{B₁F}=(-2,-1,-2)$，$\overrightarrow{A₁E}=(0,2,-1)$。
(3)易知向量$\overrightarrow{A₁C}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影向量为$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=-2i + 2j$，故$\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$。

15. (直观想象)在空间直角坐标系Oxyz中，$A(\sqrt{2},0,0)$，$B(0,3,0)$，$C(0,0,5)$，$D(\sqrt{2},3,5)$，则四面体ABCD的外接球的体积为________.

答案：
15.36π
解析　如图，取E($\sqrt{2}$,0,5)，F($\sqrt{2}$,3,0)，G(0,3,5)，O(0,0,0)，则OAFB - CEDG是长方体，其体对角线长l=$\sqrt{(\sqrt{2})^2+3^2+5^2}=6$，所以四面体ABCD的外接球半径r=$\frac{l}{2}=3$，体积V=$\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\times3^3=36\pi$。