《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10.（2023·德州期末）设直线$l$的方程为$(a + 1)x + y - 3 + a = 0(a\in\mathbf{R})$.
（1）若$l$在两坐标轴上的截距相等，求$a$的值；
（2）若$l$不经过第三象限，求$a$的取值范围.

答案： 10.解　
(1)当$x = 0$时，$y = 3 - a$；当$y = 0$时，$x = \frac{3 - a}{a + 1}$.由题意知$3 - a = \frac{3 - a}{a + 1}$，解得$a = 0$或$a = 3$.
　　经检验，$a = 0$或$a = 3$均符合题意.
(2)$(a + 1)x + y - 3 + a = 0(a\in\mathbf{R})$，
　　即$y = -(a + 1)x + 3 - a$，
　　若$l$不经过第三象限，则$\begin{cases}3 - a \geq 0\\-(a + 1) \leq 0\end{cases}$，解得$-1 \leq a \leq 3$，故$a$的取值范围为$[-1,3]$.

11.（多选）已知直线$l_{1}:x + ay - a = 0$和直线$l_{2}:ax - (2a - 3)y + a - 2 = 0$，则（ ）
A. $l_{2}$始终过定点$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$
B. 若$l_{2}$在$x$轴和$y$轴上的截距相等，则$a = 1$
C. 若$l_{1}\perp l_{2}$，则$a = 0$或$2$
D. 若$l_{1}// l_{2}$，则$a = 1$或$-3$

答案： 11.AC　把点$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$代入$ax - (2a - 3)y + a - 2 = 0$中，很显然等式成立，故A正确；若$l_{2}$在$x$轴和$y$轴上的截距相等，则$l_{2}$过原点或其斜率为$-1$，则$a - 2 = 0$或$-\frac{a}{-(2a - 3)} = -1$，解得$a = 2$或$a = 1$，故B错误；若$l_{1}\perp l_{2}$，则$1\times a + a\times(3 - 2a) = 0$，解得$a = 0$或$2$，故C正确；若$l_{1}// l_{2}$，则$1\times(3 - 2a) = a\times a$，解得$a = 1$或$-3$，经检验当$a = 1$时$l_{1}$，$l_{2}$重合，故D错误.

12. 若点$M(a,\frac{1}{b})$和$N(b,\frac{1}{c})$都在直线$l:x + y = 1$上，则点$P(c,\frac{1}{a})$，$Q(\frac{1}{c},b)$和$l$的关系是（ ）
A. $P$和$Q$都在$l$上
B. $P$和$Q$都不在$l$上
C. $P$在$l$上，$Q$不在$l$上
D. $P$不在$l$上，$Q$在$l$上

答案： 12.A　因为点$M(a,\frac{1}{b})$和$N(b,\frac{1}{c})$都在直线$l:x + y = 1$上，所以$a + \frac{1}{b} = 1$，$b + \frac{1}{c} = 1$.
　　易知$a\neq0$且$a\neq1$，则$b = \frac{1}{1 - a}$，则$\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{c} = 1$，
　化简得$c + \frac{1}{a} = 1$，所以点$P(c,\frac{1}{a})$在直线$l$上，因为$b + \frac{1}{c} = 1$，所以$Q(\frac{1}{c},b)$在直线$l$上.故选A.

13. 已知直线$ax + by - 1 = 0$在$y$轴上的截距为$-1$，且它的倾斜角是直线$\sqrt{3}x - y = 0$的倾斜角的$2$倍，则$a$，$b$的值分别为_______.

答案： 13.−√3,−1
　解析
∵直线$\sqrt{3}x - y = 0$的斜率$k_1 = \sqrt{3}$，
∴直线$\sqrt{3}x - y = 0$的倾斜角$\alpha$满足$\tan\alpha = \sqrt{3}$，得$\alpha = 60^{\circ}$，由此可得直线$ax + by - 1 = 0$的倾斜角$\beta = 2\alpha = 120^{\circ}$，故直线$ax + by - 1 = 0$的斜率$k_2 = \tan120^{\circ} = -\sqrt{3}$.
∵直线$ax + by - 1 = 0$在$y$轴上的截距为$-1$，
∴直线$ax + by - 1 = 0$的斜截式方程为$y = -\sqrt{3}x - 1$，化简得$-\sqrt{3}x - y - 1 = 0$，可得$a = -\sqrt{3}$，$b = -1$.

14. 已知两直线$l_{1}:mx + 8y + n = 0$和$l_{2}:2x + my - 1 = 0$，则$m$，$n$满足什么条件时，分别有
（1）$l_{1}// l_{2}$？
（2）$l_{1}\perp l_{2}$，且$l_{1}$在$y$轴上的截距为$-1$？

答案： 14.解　　
(1)
∵$l_{1}// l_{2}$，
∴$\begin{cases}m\times m - 8\times2 = 0\\m\times(-1) - n\times2 \neq 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 4\\n \neq -2\end{cases}$或$\begin{cases}m = -4\\n \neq 2\end{cases}$，
　
∴当$m = 4$，$n \neq -2$或$m = -4$，$n \neq 2$时，$l_{1}// l_{2}$.
(2)
∵$l_{1}$在$y$轴上的截距为$-1$，
∴$n = 8$，
∴$l_{1}:mx + 8y + 8 = 0$.
　　当$m = 0$时，$l_{1}:y = -1$，$l_{2}:x = \frac{1}{2}$，满足$l_{1}\perp l_{2}$；
　　当$m \neq 0$时，$k_1 = -\frac{m}{8}$，$k_2 = -\frac{2}{m}$，
　则$k_1\cdot k_2 = -\frac{m}{8}\cdot(-\frac{2}{m}) = \frac{1}{4} \neq -1$，
　
∴$l_{1}$与$l_{2}$不垂直，
　综上，当$m = 0$，$n = 8$时，$l_{1}\perp l_{2}$，且$l_{1}$在$y$轴上的截距为$-1$.

15.（直观想象）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了这样一条定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”. 已知平面直角坐标系中，$\triangle ABC$各顶点的坐标分别为$A(0,0)$，$B(8,0)$，$C(0,6)$，则其“欧拉线”的方程为___________.

答案： 15.3x - 4y = 0
　解析　由题设知，$\triangle ABC$是直角三角形，则垂心为直角顶点$A(0,0)$，外心为斜边$BC$的中点$M(4,3)$，
∴“欧拉线”的方程为$3x - 4y = 0$.