《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1.（2024·江苏扬州期末）经过两点A(-3,2)，B(0,-3)的直线的方程为（ ）
A. $y=\frac{1}{3}x - 3$
B. $y=-\frac{1}{3}x - 3$
C. $y=\frac{5}{3}x - 3$
D. $y=-\frac{5}{3}x - 3$

答案： D 经过点$A(-3,2),B(0,-3)$的直线的方程为$\frac{y + 3}{2 + 3}=\frac{x - 0}{-3 - 0}$，整理得$y = -\frac{5}{3}x - 3$。故选 D。

2. 已知直线$\frac{2x}{7}+\frac{y}{7}=-1$在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则a，b的值分别为（ ）
A. $\frac{2}{7},\frac{1}{7}$
B. $-\frac{2}{7},-\frac{1}{7}$
C. $\frac{7}{2},7$
D. $-\frac{7}{2},-7$

答案： D 将$\frac{2x}{7}+\frac{y}{7}=-1$化为$\frac{x}{-\frac{7}{2}}+\frac{y}{-7}=1$，可知$a = -\frac{7}{2}$，$b = -7$。

3.（2023·福建福州质检）过两点(-2,4)和(4,-1)的直线在y轴上的截距为（ ）
A. $\frac{14}{5}$
B. $-\frac{14}{5}$
C. $\frac{7}{3}$
D. $-\frac{7}{3}$

答案： C 过两点$(-2,4)$和$(4,-1)$的直线的方程为$\frac{y - 4}{-1 - 4}=\frac{x - (-2)}{4 - (-2)}$，即$y = -\frac{5}{6}x+\frac{7}{3}$，$\therefore$直线在$y$轴上的截距为$\frac{7}{3}$。故选 C。

4. 若直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$过第一、三、四象限，则（ ）
A. $a＞0,b＞0$
B. $a＞0,b＜0$
C. $a＜0,b＞0$
D. $a＜0,b＜0$

答案： B 因为直线过第一、三、四象限，所以它在$x$轴上的截距为正数，在$y$轴上的截距为负数，所以$a＞0,b＜0$。故选 B。

5. 直线$-\frac{x}{b}+\frac{2y}{b}=1$与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（ ）
A. $[-2,2]$
B. $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$
C. $[-2,0)\cup(0,2]$
D. R

答案： C $-\frac{x}{b}+\frac{2y}{b}=1$，即$\frac{x}{-b}+\frac{y}{\frac{b}{2}}=1$，易知$b\neq0$，且该直线在$x$轴上的截距为$-b$，在$y$轴上的截距为$\frac{b}{2}$，$\therefore0＜\frac{1}{2}\left|\frac{b}{2}\cdot(-b)\right|\leq1$，解得$-2\leq b\leq2$，且$b\neq0$。故选 C。

6.（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 直线$y=x - 2$与两坐标轴围成的三角形面积是2
B. 点(0,2)关于直线$y=x + 1$的对称点为(1,1)
C. 过$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$两点的直线方程为$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
D. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为$x + y - 2=0$

答案： AB A 中，该直线在坐标轴上的截距分别为$2,-2$，所以围成的三角形面积为$2$，所以 A 正确；B 中，由题可得$(\frac{0 + 1}{2},\frac{2 + 1}{2})$在直线$y = x + 1$上，且$(0,2),(1,1)$连线的斜率为$-1$，所以 B 正确；C 中，需满足条件$y_2\neq y_1,x_2\neq x_1$才能成立，所以 C 错误；D 中，丢了一条截距都为$0$的直线$y = x$，所以 D 错误。

7. 在x轴和y轴上的截距分别为-2，3的直线方程是__________.

答案： $\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}=1$
解析 由直线的截距式方程可得$\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}=1$。

8. 已知直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{6}=1$与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为________.

答案： $\pm2$
解析 由$\frac{x}{a}+\frac{y}{6}=1$知$S=\frac{1}{2}|a|\cdot6 = 6$，所以$a=\pm2$。

9. 求经过点A(-2,3)，B(4,-1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.

答案： 解 过$A,B$两点的直线的两点式方程是$\frac{y + 1}{3 + 1}=\frac{x - 4}{-2 - 4}$，
化为点斜式为$y + 1 = -\frac{2}{3}(x - 4)$，
化为斜截式为$y = -\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$，
化为截距式为$\frac{x}{\frac{5}{2}}+\frac{y}{\frac{5}{3}}=1$。