《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1.（2023·江苏常州二中调研）直线$2x - y = 7$与直线$3x + 2y - 7 = 0$的交点是（ ）
A.（3，-1）
B.（-1，3）
C.（-3，-1）
D.（3，1）

答案： A 由$\begin{cases}2x - y = 7\\3x + 2y - 7 = 0\end{cases}$得$\begin{cases}x = 3\\y = -1\end{cases}$，即交点坐标为$(3,-1)$，故选A.

2. 已知直线$l_1:ax + y + 1 = 0$与$l_2:2x - by - 1 = 0$相交于点$M(1,1)$，则$a + b =$（ ）
A. -1
B. 1
C. 2
D. -2

答案： A $\because$点$M(1,1)$在直线$l_1$和$l_2$上，
$\therefore\begin{cases}a + 1 + 1 = 0\\2 - b - 1 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -2\\b = 1\end{cases}$，$\therefore a + b = -1$. 故选A.

3.（2023·湖南长沙期中）过直线$x + y - 3 = 0$和$2x - y + 6 = 0$的交点，且与直线$2x + y - 3 = 0$垂直的直线方程是（ ）
A. $4x + 2y - 9 = 0$
B. $4x - 2y + 9 = 0$
C. $x + 2y - 9 = 0$
D. $x - 2y + 9 = 0$

答案： D 联立$\begin{cases}x + y - 3 = 0\\2x - y + 6 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -1\\y = 4\end{cases}$. 设与直线$2x + y - 3 = 0$垂直的直线方程为$x - 2y + m = 0$，把交点坐标$(-1,4)$代入所设直线方程，得$m = 9$. 故所求直线方程为$x - 2y + 9 = 0$. 故选D.

4. 直线$(2m + 1)x + (m + 1)y - 7m - 4 = 0$过定点（ ）
A.（1，-3）
B.（4，3）
C.（3，1）
D.（2，3）

答案： C 将直线方程整理得$2mx + x + my + y - 7m - 4 = 0$，即$(2x + y - 7)m+(x + y - 4)=0$，由$\begin{cases}2x + y - 7 = 0\\x + y - 4 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$，则直线过定点$(3,1)$. 故选C.

5. 若非零实数$a$，$b$满足$3a = 2b(a + 1)$，且直线$\frac{2x}{a}+\frac{y}{2b}=1$过一定点，则定点坐标为（ ）
A. $(-\frac{1}{2},3)$
B.（1，3）
C.（-3，-2）
D. $(-\frac{1}{3},2)$

答案： A $\because$非零实数$a$，$b$满足$3a = 2b(a + 1)$，$\therefore\frac{1}{2b}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3a}$.$\because\frac{2x}{a}+\frac{y}{2b}=1$，$\therefore\frac{2x}{a}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{3a})y = 1$，$\therefore 6x+(a + 1)y = 3a$，$\therefore(6x + y)+a(y - 3)=0$. 由$\begin{cases}6x + y = 0\\y - 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -\frac{1}{2}\\y = 3\end{cases}$，$\therefore$定点坐标为$(-\frac{1}{2},3)$.

6.（多选）已知直线$l_1:3x + y - 1 = 0$与$l_2:x + 2y - 7 = 0$，则下列说法正确的是（ ）
A. $l_1$与$l_2$的交点坐标是（0，-1）
B. 过$l_1$与$l_2$的交点且与$l_1$垂直的直线的方程为$x - 3y + 13 = 0$
C. $l_1$，$l_2$与$x$轴围成的三角形的面积是$\frac{40}{3}$
D. $l_1$的倾斜角是锐角

答案： BC 联立$3x + y - 1 = 0$与$x + 2y - 7 = 0$，解得交点坐标为$(-1,4)$，所以A中说法错误. 由所求直线与直线$3x + y - 1 = 0$垂直得所求直线的斜率为$\frac{1}{3}$，所以由点斜式得$y - 4=\frac{1}{3}(x + 1)$，即$x - 3y + 13 = 0$，所以B中说法正确.$l_1$，$l_2$与$x$轴围成的三角形的面积$S=\frac{1}{2}\times(7-\frac{1}{3})\times4=\frac{40}{3}$，所以C中说法正确.$l_1$的斜率$k_1=-3\lt0$，所以$l_1$的倾斜角是钝角，所以D中说法错误.

7. 过两条直线$l_1:x + y - 2 = 0$与$l_2:3x - y - 4 = 0$的交点，且斜率为 -2 的直线$l$的方程为__________.

答案： $4x + 2y - 7 = 0$
解析 由$\begin{cases}x + y - 2 = 0\\3x - y - 4 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$，所以直线$l$的方程为$y-\frac{1}{2}=-2(x - \frac{3}{2})$，即$4x + 2y - 7 = 0$.

8. 若直线$5x + 4y = 2a + 1$与直线$2x + 3y = a$的交点位于第四象限，则$a$的取值范围为__________.

答案： $(-\frac{3}{2},2)$
解析 由$\begin{cases}5x + 4y = 2a + 1\\2x + 3y = a\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{2a + 3}{7}\\y=\frac{a - 2}{7}\end{cases}$，即两直线的交点坐标为$(\frac{2a + 3}{7},\frac{a - 2}{7})$. 又交点在第四象限，则$\begin{cases}\frac{2a + 3}{7}\gt0\\\frac{a - 2}{7}\lt0\end{cases}$，解得$-\frac{3}{2}\lt a\lt2$.

9. 已知直线$l$过定点$P(0,1)$，且与直线$l_1:x - 3y + 10 = 0$，$l_2:2x + y - 8 = 0$分别交于$A$，$B$两点，若线段$AB$的中点为$P$，求直线$l$的方程.

答案： 解 设$A(x_0,y_0)$，由中点坐标公式，有$B(-x_0,2 - y_0)$，
$\because A$在$l_1$上，$B$在$l_2$上，
$\therefore\begin{cases}x_0 - 3y_0 + 10 = 0\\-2x_0 + 2 - y_0 - 8 = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_0 = -4\\y_0 = 2\end{cases}$，$\therefore k_{AP}=\frac{1 - 2}{0 + 4}=-\frac{1}{4}$，
故所求直线$l$的方程为$y = -\frac{1}{4}x + 1$，即$x + 4y - 4 = 0$.