《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10.（2023·福建三明五校高二期中联考）已知$\triangle ABC$的顶点$A(4,1)$，$AB$边上的高所在的直线平行于直线$3x + 5y - 1 = 0$，角$B$的平分线所在直线的方程为$x - y - 5 = 0$.
（1）求点$B$的坐标；
（2）求$BC$边所在直线的方程.

答案： 解
(1)因为$AB$边上的高所在的直线平行于直线$3x + 5y - 1 = 0$，所以直线$AB$的斜率为$\frac{5}{3}$，
则直线$AB$的方程为$5x - 3y - 17 = 0$，
联立$\begin{cases}5x - 3y - 17 = 0\\x - y - 5 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = -4\end{cases}$.
即点$B$的坐标为$(1,-4)$.
(2)设点$A$关于直线$x - y - 5 = 0$对称的点为$A_1(m,n)$，则点$A_1$在直线$BC$上，且直线$x - y - 5 = 0$为线段$AA_1$的垂直平分线，
所以有$\begin{cases}\frac{m + 4}{2}-\frac{n + 1}{2}-5 = 0\\\frac{n - 1}{m - 4}=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 6\\n = -1\end{cases}$，
即$A_1(6,-1)$.
所以$BC$边所在的直线方程为$\frac{y + 1}{-4 + 1}=\frac{x - 6}{1 - 6}$，即$3x - 5y - 23 = 0$.

11. 已知直线$l_1:x + 2y - 6 = 0$，$l_2:x - y - 3 = 0$，则$l_1$，$l_2$，$x$轴及$y$轴围成的四边形的面积为（ ）
A. 8
B. 6
C. $\frac{15}{2}$
D. 3

答案：
C 联立$\begin{cases}x + 2y - 6 = 0\\x - y - 3 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$，即直线$l_1$，$l_2$的交点坐标为$(4,1)$；直线$l_1:x + 2y - 6 = 0$与$x$轴、$y$轴的交点坐标分别为$(6,0)$，$(0,3)$；直线$l_2:x - y - 3 = 0$与$x$轴、$y$轴的交点坐标分别为$(3,0)$，$(0,-3)$. 如图所示，可得所求四边形的面积为$\frac{1}{2}\times6\times3-\frac{1}{2}\times3\times1=\frac{15}{2}$.

12.（多选）（2024·河北衡水中学月考）若三条不同的直线$l_1:mx + 2y + m + 4 = 0$，$l_2:x - y + 1 = 0$，$l_3:3x - y - 5 = 0$不能围成一个三角形，则$m$的取值可能为（ ）
A. -2
B. -6
C. -3
D. 1

答案： ABC 若$l_1// l_2$，则$\begin{cases}2 + m = 0\\2 + m + 4\neq0\end{cases}$，解得$m = -2$. 若$l_1// l_3$，则$\begin{cases}6 + m = 0\\-10 + m + 4\neq0\end{cases}$，解得$m = -6$. 由$\begin{cases}x - y + 1 = 0\\3x - y - 5 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases}$，即$l_2$与$l_3$的交点为$(3,4)$，若$l_1$过点$(3,4)$，则$4m + 12 = 0$，解得$m = -3$.

13. 已知入射光线经过点$M(-3,4)$，被直线$l:x - y + 3 = 0$反射，反射光线经过点$N(2,6)$，则反射光线所在直线的方程为____________.

答案： $6x - y - 6 = 0$
解析 设点$M(-3,4)$关于直线$l:x - y + 3 = 0$的对称点为$M'(a,b)$，则反射光线所在直线过点$M'$，
所以$\begin{cases}\frac{b - 4}{a - (-3)}=-1\\\frac{-3 + a}{2}-\frac{b + 4}{2}+3 = 0\end{cases}$，解得$a = 1$，$b = 0$.
又反射光线经过点$N(2,6)$，所以所求直线的方程为$\frac{y - 0}{6 - 0}=\frac{x - 1}{2 - 1}$，即$6x - y - 6 = 0$.

14. 已知$0\lt k\lt4$，直线$l_1:kx - 2y - 2k + 8 = 0$和直线$l_2:2x + k^2y - 4k^2 - 4 = 0$与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小的$k$的值.

答案：
解 如图，由题意知直线$l_1$，$l_2$恒过定点$P(2,4)$，直线$l_1$的纵截距为$4 - k$，直线$l_2$的横截距为$2k^2 + 2$，即$A(0,4 - k)$，$B(2k^2 + 2,0)$，所以四边形的面积$S=\frac{1}{2}\times(2k^2 + 2 - 2)\times4+(4 - k + 4)\times2\times\frac{1}{2}=4k^2 - k + 8(0\lt k\lt4)$，故四边形面积最小时，$k=\frac{1}{8}$.

15.（逻辑推理）已知$P_1(a_1,b_1)$与$P_2(a_2,b_2)$是直线$y = kx + 2$（$k$为常数）上两个不同的点，则关于直线$l_1:a_1x + b_1y - 2 = 0$和$l_2:a_2x + b_2y - 2 = 0$的交点情况是（ ）
A. 无论$k$，$P_1$，$P_2$如何，总有唯一交点
B. 存在$k$，$P_1$，$P_2$使之有无穷多个交点
C. 无论$k$，$P_1$，$P_2$如何，总是无交点
D. 存在$k$，$P_1$，$P_2$使之无交点

答案： A 因为$P_1(a_1,b_1)$与$P_2(a_2,b_2)$是直线$y = kx + 2$（$k$为常数）上两个不同的点，所以$b_i = ka_i + 2(i = 1,2)$，即$a_i\times(-k)+b_i\times1 - 2 = 0(i = 1,2)$，故$(-k,1)$既在直线$l_1$上，也在直线$l_2$上. 因为$P_1(a_1,b_1)$与$P_2(a_2,b_2)$是两个不同的点，所以$l_1$，$l_2$不重合，故无论$k$，$P_1$，$P_2$如何，总有唯一交点$(-k,1)$. 故选A.