《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10. (1)已知直线$l$过点$A(2,-3)$.
①若$l$与过点$(-4,4)$和$(-3,2)$的直线$l'$平行，求其方程；
②若$l$与过点$(-4,4)$和$(-3,2)$的直线$l'$垂直，求其方程.
(2)已知直线$l_{1}:y = -\frac{3m}{8}x+\frac{10 - 3m}{8}$和直线$l_{2}:6my = -x + 4$，问：$m$为何值时，直线$l_{1}$与$l_{2}$平行？$m$为何值时，直线$l_{1}$与$l_{2}$垂直？

答案： 10.解　
(1)①由题可得直线$l'$的斜率$k'=\frac{2 - 4}{-3 - (-4)}=-2$，$\because l$与$l'$平行，$\therefore$直线l的斜率$k = - 2$。
　由直线的点斜式方程知$y + 3=-2(x - 2)$，$\therefore$直线l的方程为$y = - 2x + 1$。
　②$\because$直线$l'$的斜率$k'=-2$，l与其垂直，$\therefore$直线l的斜率$k=\frac{1}{2}$。
由直线的点斜式方程知$y + 3=\frac{1}{2}(x - 2)$，$\therefore$直线l的方程为$y=\frac{1}{2}x - 4$。
(2)当$m = 0$时，直线$l_{1}:y=\frac{5}{4}$，直线$l_{2}:x = 4$，直线$l_{1}$与$l_{2}$垂直；
　当$m\neq0$时，直线$l_{2}$的方程可化为$y = -\frac{1}{6m}x+\frac{2}{3m}$。
　由$\begin{cases}-\frac{3m}{8}=-\frac{1}{6m}\\\frac{10 - 3m}{8}\neq\frac{2}{3m}\end{cases}$得$m = -\frac{2}{3}$；
　而$-\frac{3m}{8}\cdot(-\frac{1}{6m})=-1$无解。
　故当$m = -\frac{2}{3}$时，直线$l_{1}$与$l_{2}$平行；当$m = 0$时，直线$l_{1}$与$l_{2}$垂直。

11.（多选）$y = ax+\frac{1}{a}$的图象可能是（ ）

答案： 11.AB
∵$a\neq0$，$\therefore$C不可能。当$a\gt0$时，$\frac{1}{a}\gt0$，即直线的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距大于0，故A可能。当$a\lt0$时，$\frac{1}{a}\lt0$，即直线的倾斜角为钝角，且在y轴上的截距小于0，故B可能，D不可能。

12. 在等腰$\triangle AOB$中，$|AO| = |AB|$，点$O(0,0)$，$A(1,3)$，点$B$在$x$轴的正半轴上，则直线$AB$的方程为（ ）
A. $y - 1 = 3(x - 3)$
B. $y - 1 = -3(x - 3)$
C. $y - 3 = 3(x - 1)$
D. $y - 3 = -3(x - 1)$

答案： 12.D　由题意知，直线AO与AB的倾斜角互补，斜率互为相反数，$k_{AO}=3$，$\therefore k_{AB}=-3$，由直线的点斜式方程得$y - 3=-3(x - 1)$。

13. 已知直线$l:y = kx + 2k + 1$，那么直线过定点_______，若当$-3\lt x\lt3$时，直线$l$上的点都在$x$轴上方，则实数$k$的取值范围是_______.

答案： 13.(−2,1)　$[-\frac{1}{5},1]$
　解析　由$y = kx + 2k + 1$得，$y - 1 = k(x + 2)$，则直线过定点(-2,1)。
　设函数$f(x)=kx + 2k + 1$，显然其图象是一条直线，若当$-3\lt x\lt3$时，直线l上的点都在x轴上方，则需满足$\begin{cases}f(-3)\geqslant0\\f(3)\geqslant0\end{cases}$，即$\begin{cases}-3k + 2k + 1\geqslant0\\3k + 2k + 1\geqslant0\end{cases}$，解得$-\frac{1}{5}\leqslant k\leqslant1$。
　所以实数k的取值范围是$[-\frac{1}{5},1]$。

14.（2024·广东广州二中月考）已知直线$l:y = kx + 2 + 4k(k\in R)$.
(1)若直线$l$不经过第四象限，求$k$的取值范围；
(2)若直线$l$交$x$轴的负半轴于点$A$，交$y$轴的正半轴于点$B$，$O$为坐标原点，设$\triangle AOB$的面积为$S$，求$S$的最小值及此时直线$l$的方程.

答案： 14.解　
(1)由直线l的方程为$y = kx + 2 + 4k$，得直线在y轴上的截距为$4k + 2$，要使直线l不经过第四象限，需满足$\begin{cases}k\geqslant0\\4k + 2\geqslant0\end{cases}$，解得$k\geqslant0$，故k的取值范围是$k\geqslant0$。
(2)依题意，直线l在x轴上的截距为$-\frac{4k + 2}{k}$，在y轴上的截距为$4k + 2$，且$k\gt0$，所以$A(-\frac{4k + 2}{k},0)$，$B(0,4k + 2)$，所以$S=\frac{1}{2}|OA|\times|OB|=\frac{2(2k + 1)^{2}}{k}=2(4k+\frac{1}{k}+4)\geqslant2\times(4 + 4)=16$，当且仅当$4k=\frac{1}{k}$，即$k=\frac{1}{2}$时取等号，故S的最小值为16，此时直线l的方程为$y=\frac{1}{2}x + 4$。

15.（直观想象）若$y = a|x|$与$y = x + a(a\gt0)$的图象有两个交点，则$a$的取值范围是（ ）
A. $(1,+\infty)$
B. $(0,1)$
C. $\varnothing$
D. $(0,1)\cup(1,+\infty)$

答案：
15.A　$y = x + a(a\gt0)$表示斜率为1，在y轴上的截距为$a(a\gt0)$的直线，$y = a|x|$表示关于y轴对称的两条射线。根据题意画出大致图象，如图。若$y = a|x|$与$y = x + a$的图象有两个交点，且$a\gt0$，则根据图象可知$a\gt1$。故选A。
　　　　　　　　　　　　　　　　

16.（直观想象）已知点$M$是直线$l:y = \sqrt{3}x + 3$与$x$轴的交点，将直线$l$绕点$M$旋转$30^{\circ}$，所得到的直线$l'$的方程为________________.

答案： 16.$x = -\sqrt{3}$或$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+\sqrt{3})$
　解析　在$y=\sqrt{3}x + 3$中，令$y = 0$，得$x = -\sqrt{3}$，即$M(-\sqrt{3},0)$。因为直线l的斜率为$\sqrt{3}$，所以其倾斜角为$60^{\circ}$。若直线l绕点M逆时针旋转$30^{\circ}$，则得到的直线$l'$的倾斜角为$90^{\circ}$，此时直线$l'$的斜率不存在，故其方程为$x = -\sqrt{3}$；若直线l绕点M顺时针旋转$30^{\circ}$，则得到的直线$l'$的倾斜角为$30^{\circ}$，此时直线$l'$的斜率为$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故其方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+\sqrt{3})$。综上所述，所求直线$l'$的方程为$x = -\sqrt{3}$或$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+\sqrt{3})$。