《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10. 已知椭圆的焦点为$F_1(-2,0),F_2(2,0)$，且该椭圆过点$P(2,-\sqrt{2})$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上的点$M(x_0,y_0)$满足$MF_1\perp MF_2$，求$y_0$的值．

答案： 10.解　
(1)因为|PF,|=　$\sqrt{[2−(−2)]²+[(−\sqrt{2})−0]²}$=
　　$\sqrt{18}$=3√2,|PF2｜=$\sqrt{(2−2)²+[(−√2)−0]²}$=√2,
　所以|PF|+|PF2|=4$\sqrt{2}$=2a,即a=2√2.
　又因为c=2,所以b²=a²−c²=4,又焦点在x轴上,所以该椭圆的标准方程为$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{4}$.2=1.
(2)因为MF=(−2−x。,−y。),MF=(2−x。,−y。),MF⊥MF2,所以MF.MF=O,即x²+y²=4,
　　　2　　2
　又$\frac{xo}{8}$+$\frac{yo}{4}$=1,所以y=4,即y。=±2.

11.（2023·唐山期末）已知椭圆$\Gamma:\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{n}=1(0 ＜ n ＜ 9)$，点$M$与$\Gamma$的焦点不重合，若$M$关于$\Gamma$的两个焦点的对称点分别为$A,B$，线段$MN$的中点$Q$在$\Gamma$上，则点$N$到$A,B$两点的距离之和为（ ）
A. 6
B. 8
C. 12
D. 36

答案：
11.C　设椭圆r的左、右焦点分别为
　F1,F2,如图所示.因为线段MN
　的中点为Q,点F2为MB的中
　　　　　　　　　　　　　 点,所以|QF2|=$\frac{1}{2}$|NB|,同理
　可得|QF|=$\frac{1}{2}$|AN|.因为点Q
　在椭圆r上,所以有|QF1|+|QF2|=2a=6,
　所以|AN|+|BN|=2(|QF|+|QF2|)=12,
　即点N到A,B两点的距离之和为12,故选C;

12.（多选）设$F_1,F_2$分别为椭圆$C:\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$的左、右焦点，点$M$为椭圆$C$上一点且在第一象限．若$\triangle MF_1F_2$为等腰三角形，则（ ）
A. $|MF_1| = 2$
B. $|MF_2| = 2$
C. 点$M$的横坐标为$\frac{8}{3}$
D. $S_{\triangle MF_1F_2}=\sqrt{35}$

答案： 12.BCD　由椭圆C:$\frac{x}{16}$+$\frac{y”}{7}$=1,可得a=4,b=√7,c=3.因为点M为椭圆C上一点且在第一象限,△MF1F2为等腰三角形,所以|MF|＞|MF2|,且|MF|=|F1F2|=2c=6,又|MF，|+|MF2|=2a=8,所以|MF2{=2,故A错误,B正确;在△MFF2中,由余弦定理得
COS∠MFF2　=　$\frac{|MF,|²+|FF1²−|MF|}{2|MF|.|FF}$　=
　$\frac{6²+6²−2}{2×6×6}$=$\frac{17}{18}$.设M(xM,yM),则xM=|MF1|.
COS∠MFF2−c=6×$\frac{17}{18}$−3=$\frac{8}{3}$,故C正确;易得sin∠MFF2=　　$\sqrt{1−(\frac{17}{18}}}$=$\frac{\sqrt{35}}{18}$,所以S△MF,F2=
　$\frac{1}{2}$|MF1|.|FF2|.sin∠MFF2=$\frac{1}{2}$×6×6×$\frac{\sqrt{35}}{18}$=$\sqrt{35}$,故D正确故选BCD.

13. 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，$M$为椭圆$C$上任意一点，$N$为圆$E:(x - 4)^{2}+(y - 3)^{2}=1$上任意一点，则$|MN|-|MF_1|$的最小值为________．

答案：
13.3$\sqrt{2}$−5
　解析　如图，M为椭圆C上任
　意一点,N为圆E:(x−4)²+
　(y−3)²=1上任意一点,则
　　　　　　　　　　　　　 |MF;|+|MF2|=4,|MN|≥
　|ME|−1(当且仅当M,N,E
　共线且N在M,E之间时取等
　号),
∴|MN|−|MF;{=|MN|−(4−|MF21)=
　|MN|+|MF2|−4≥|ME|+|MF2|−5≥|EF2|−5,当且仅当M,N,E,F2共线且M,N在E,F2之间时等号成立.
∵F2(1,0),E(4,3),
∴|EF21=　$\sqrt{(4−1)²+(3−0)²}$=
　3√2,
∴|MN|−|MF|的最小值为3√2−5.

14. 如图，设椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点$D$在椭圆上，$DF_1\perp F_1F_2$，$\frac{|F_1F_2|}{|DF_1|}=2\sqrt{2}$，$\triangle DF_1F_2$的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求椭圆的标准方程．

答案： 14.解　设F1(−c,0),F2(c,0),其中c²²=a²²−b².
　由$\frac{|F、F}{|DF,}$=2√2,得|DF1|=$\frac{|F、F}{2\sqrt{2}}$=$\frac{√2}{2}$C.
　又S△DF1F2=$\frac{1}{2}$|DF;1|FF2|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以c=1,所以|DF;|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
　由DF⊥F1F2得|DF21²=|DF1²+|F1F21²=$\frac{9}{2}$,所以|DF2|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
　所以2a={DF;1+|DF2|=2√2,故a=√2,b²=a²−c²=1.
　故所求椭圆的标准方程为$\frac{x}{2}$+y²=1.

15.（数学运算）在平面直角坐标系中，$A(4,0)$，$B(-4,0)$，且$\frac{\sin A+\sin B}{\sin C}=\frac{5}{4}$，则$\triangle ABC$的顶点$C$的轨迹方程为______________．

答案： 15,$\frac{x}{25}$+$\frac{y}{9}$=1(y≠0)
　解析　在△ABC中，由正弦定理得$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=
　$\frac{|BC|+|AC|}{AB}$=$\frac{5}{4}$,又|AB|=8,
∴|BC|+|AC|=10＞8,由椭圆的定义知顶点C的轨迹为椭圆,且2a=10,a=5,c=4,
∴b²=a²−c²=9,.2 又C与A,B不共线,
∴顶点C的轨迹方程为$\frac{x}{25}$+$\frac{y}{9}$=
　1(y≠0).

16.（逻辑推理）（2024·湖北华中师大附中月考）已知椭圆$E:\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$的右焦点为$F$，$P$是椭圆$E$上的一个动点，$Q$点坐标是$(1,3)$，则$|PQ|+|PF|$的最大值是________．

答案：
16.13
　解析　由E:$\frac{x}{16}$+$\frac{y}{7}$=1可知a=4,
　b=√7,c=$\sqrt{16−7}$=3.
　　　　　　　　　　　　　　　 设椭圆的左焦点为F’(−3,0),则
　|PQ|+|PF|=|PQ|+2a−|PF′|≤8+
　|QF′|=8+　$\sqrt{(−3−1)²+(0−3)²}$=8+5=13,
　当且仅当P,Q,F'共线时且当P在QF'的延长线上P时等号成立.
∴|PQ|+|PF|的最大值为13.