《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA = AB = a，AD = 2a，求平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.

答案： 解　建立如图所示的空间直角坐标系，则$B(a,0,0)$，$C(a,2a,0)$，$P(0,0,a)$，$D(0,2a,0)$，$\overrightarrow{BC}=(0,2a,0)$，$\overrightarrow{BP}=(-a,0,a)$，$\overrightarrow{CD}=(-a,0,0)$，$\overrightarrow{PD}=(0,2a,-a)$.
设平面BPC、平面DPC的法向量分别为$\boldsymbol{n}_1=(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol{n}_2=(x_2,y_2,z_2)$，则有
$\begin{cases}\overrightarrow{BC}\cdot\boldsymbol{n}_1 = 0\\\overrightarrow{BP}\cdot\boldsymbol{n}_1 = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}2ay_1 = 0\\-ax_1 + az_1 = 0\end{cases}$和$\begin{cases}\overrightarrow{CD}\cdot\boldsymbol{n}_2 = 0\\\overrightarrow{PD}\cdot\boldsymbol{n}_2 = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}-ax_2 = 0\\2ay_2 - az_2 = 0\end{cases}$.
取$\boldsymbol{n}_1=(1,0,1)$，$\boldsymbol{n}_2=(0,1,2)$，则$\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle=\frac{\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，
故平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$.

11.如图，在直三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，AA₁ = AB，M是A₁C₁的中点，则AM与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为 （ ）

A.$\frac{7}{10}$
B.$\frac{\sqrt{15}}{10}$
C.$\frac{\sqrt{85}}{10}$
D.－$\frac{\sqrt{15}}{10}$

答案：
如图所示，取AC的中点D，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

设$AC = 2$，则$A(0,-1,0)$，$M(0,0,2)$，$B(-\sqrt{3},0,0)$，$C(0,1,0)$，$B_1(-\sqrt{3},0,2)$，所以$\overrightarrow{AM}=(0,1,2)$，$\overrightarrow{BC}=(\sqrt{3},1,0)$，$\overrightarrow{BB_1}=(0,0,2)$，设平面$BCC_1B_1$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}x + y = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BB_1}=2z = 0\end{cases}$，令$x=\sqrt{3}$，得$\boldsymbol{n}=(\sqrt{3},-3,0)$.
设AM与平面$BCC_1B_1$所成角为$\alpha$，向量$\overrightarrow{AM}$与$\boldsymbol{n}$的夹角为$\theta$，所以$\sin\alpha =|\cos\theta|=\frac{|\overrightarrow{AM}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AM}||\boldsymbol{n}|}=\frac{3}{\sqrt{5}\times\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{15}}{10}$，即AM与平面$BCC_1B_1$所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{10}$.
故选B.

12.（2024·石家庄二中月考）如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁为长方体，AA₁ = AB = 2AD，点E为C₁D₁的中点，则平面A₁B₁B与平面A₁BE夹角的余弦值为 （ ）

A.－$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.－$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 设$AD = 1$，则$D(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$A_1(1,0,2)$，$B(1,2,0)$. 因为E为$C_1D_1$的中点，所以$E(0,1,2)$，所以$\overrightarrow{A_1E}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{A_1B}=(0,2,-2)$，设$\boldsymbol{m}=(x,y,z)$是平面$A_1BE$的法向量，则$\begin{cases}\overrightarrow{A_1E}\cdot\boldsymbol{m}=0\\\overrightarrow{A_1B}\cdot\boldsymbol{m}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-x + y = 0\\2y - 2z = 0\end{cases}$，取$x = 1$，则$y = z = 1$，所以平面$A_1BE$的一个法向量为$\boldsymbol{m}=(1,1,1)$. 又因为$DA\perp$平面$A_1B_1B$，所以$\overrightarrow{DA}=(1,0,0)$是平面$A_1B_1B$的一个法向量，所以$\cos\langle\boldsymbol{m},\overrightarrow{DA}\rangle=\frac{\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{DA}}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{DA}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以平面$A_1B_1B$与平面$A_1BE$夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$. 故选C.

13.如图，在正方形ABCD中，EF//AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD = 1∶1∶$\sqrt{2}$，则直线AF与CE所成角的余弦值为________．

答案：
$\frac{4}{5}$
解析　因为$AE:ED:AD = 1:1:\sqrt{2}$，所以$AE\perp ED$，即$AE$，$DE$，$EF$两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系.
设$AB = EF = CD = 2$，
则$E(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$F(0,2,0)$，$C(0,2,1)$，
所以$\overrightarrow{AF}=(-1,2,0)$，$\overrightarrow{EC}=(0,2,1)$，
所以$\cos\langle\overrightarrow{AF},\overrightarrow{EC}\rangle=\frac{\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{EC}}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{EC}|}=\frac{4}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$，
所以直线AF与CE所成角的余弦值为$\frac{4}{5}$.

14.（2023·浙江杭州高级中学期中）如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P - ABCD，其中AC⊥BD，且AC，BD交于点O，OA = OB = OD = 4，OC = 8，PO⊥平面ABCD.
（1）求证：PD⊥AC；
（2）试验表明，当PO = $\frac{1}{2}$OA时，风筝表现最好，求此时直线PD与平面PBC所成角的正弦值.

答案：
解　（1）证明：因为$PO\perp$平面ABCD，$AC\subset$平面ABCD，所以$PO\perp AC$. 又$AC\perp BD$，$PO\cap BD = O$，$PO\subset$平面POD，$BD\subset$平面POD，所以$AC\perp$平面POD. 又$PD\subset$平面POD，所以$PD\perp AC$.
（2）如图，以O为坐标原点，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OP}$的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O - xyz，则$B(4,0,0)$，$C(0,8,0)$，$D(-4,0,0)$，$P(0,0,2)$，所以$\overrightarrow{PB}=(4,0,-2)$，$\overrightarrow{PC}=(0,8,-2)$，$\overrightarrow{PD}=(-4,0,-2)$.
设$\boldsymbol{m}=(a,b,c)$为平面PBC的一个法向量，
则$\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{PB}=0\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{PC}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}4a - 2c = 0\\8b - 2c = 0\end{cases}$，
取$c = 4$，则$\boldsymbol{m}=(2,1,4)$是平面PBC的一个法向量.
设直线PD与平面PBC所成的角为$\theta$，
则$\sin\theta =|\cos\langle\overrightarrow{PD},\boldsymbol{m}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{PD}\cdot\boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{PD}||\boldsymbol{m}|}=\frac{16}{\sqrt{20}\times\sqrt{21}}=\frac{8\sqrt{105}}{105}$.

15.（逻辑推理）长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，AA₁ = 2，AB = AD = 1，P为线段AD₁上的动点，则PB₁与平面BCC₁B₁所成角的余弦值的最小值为 （ ）
A.$\frac{\sqrt{5}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{11}}{4}$
D.$\frac{2}{3}$

答案：
建立如图所示的空间直角坐标系，则$D(0,0,0)$，$C(0,1,0)$，$B_1(1,1,2)$，
设$P(a,0,2 - 2a)(0\leqslant a\leqslant1)$.

$\because CD\perp$平面$BCC_1B_1$，
$\therefore$平面$BCC_1B_1$的法向量为$\overrightarrow{DC}=(0,1,0)$.
$\because\overrightarrow{B_1P}=(a - 1,-1,-2a)$，
设$PB_1$与平面$BCC_1B_1$所成角为$\alpha$，
$\therefore\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\cos^2\langle\overrightarrow{DC},\overrightarrow{B_1P}\rangle}$
$=\sqrt{1 - \left(\frac{\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{B_1P}}{|\overrightarrow{DC}||\overrightarrow{B_1P}|}\right)^2}$
$=\sqrt{1-\left[\frac{-1}{1\cdot\sqrt{(a - 1)^2 + 1+(-2a)^2}}\right]^2}$
$=\sqrt{1-\frac{1}{5a^2 - 2a + 2}}$.
$\because5a^2 - 2a + 2 = 5\left(a-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{9}{5}\geqslant\frac{9}{5}$，
$\therefore(\cos\alpha)_{\min}=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}$. 故选D.