《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

13. 如图所示，$Rt\triangle ABC$的顶点$A(-2,0)$，直角顶点$B(0,-2\sqrt{2})$，顶点 C 在 x 轴上，点 P 为线段 OA 的中点.
(1)求边 BC 所在直线的方程；
(2)M 为$Rt\triangle ABC$外接圆的圆心，求圆 M 的方程；
(3)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切，求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方程.

答案： 解
(1)$\because k_{AB}=-\sqrt{2}$，$AB\perp BC$，$\therefore k_{CB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。$\therefore$边$BC$所在直线的方程为$y=\frac{\sqrt{2}}{2}x - 2\sqrt{2}$，即$x-\sqrt{2}y - 4 = 0$。
(2)$\because$边$BC$所在直线的方程为$x-\sqrt{2}y - 4 = 0$，令$y = 0$，得$x = 4$，$\therefore C(4, 0)$，$\therefore$圆心$M(1, 0)$。又$\because|AM| = 3$，$\therefore$圆$M$的方程为$(x - 1)^{2}+y^{2}=9$。
(3)$\because P(-1, 0)$，$M(1, 0)$，且圆$N$过点$P(-1, 0)$，$\therefore|PN|$是该圆的半径。又$\because$动圆$N$与圆$M$内切，$\therefore|MN| = 3 - |PN|$，即$|MN|+|PN| = 3＞2$。$\therefore$点$N$的轨迹是以$M$，$P$为焦点的椭圆，且$2a = 3$。$\therefore a=\frac{3}{2}$，$c = 1$，$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。$\therefore$圆心$N$的轨迹方程为$\frac{4}{9}x^{2}+\frac{4}{5}y^{2}=1$。

14. 已知中心在坐标原点的椭圆经过点$A(2,3)$，且点$F(2,0)$为其右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若 P 是(1)中所求椭圆上的动点，求 PF 的中点 Q 的轨迹方程.

答案： 解
(1)依题意，可设椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，点$F(2, 0)$为其右焦点，则不妨令其左焦点为$F'(-2, 0)$，从而有$\begin{cases}c = 2\\2a=|AF|+|AF'| = 3 + 5 = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}c = 2\\a = 4\end{cases}$，又$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，$\therefore b^{2}=12$，故椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$。
(2)设$P(x_0, y_0)$，$Q(x, y)$，$\because Q$为$PF$的中点，$\therefore\begin{cases}x=\frac{x_0 + 2}{2}\\y=\frac{y_0}{2}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_0 = 2x - 2\\y_0 = 2y\end{cases}$，又$P$是$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$上的动点，$\therefore\frac{(2x - 2)^{2}}{16}+\frac{4y^{2}}{12}=1$，即$Q$点的轨迹方程是$\frac{(x - 1)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。

15. 设圆$x^{2}+y^{2}+2x - 15 = 0$的圆心为 A，直线 l 过点$B(1,0)$且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过点 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. 证明$|EA|+|EB|$为定值，并写出点 E 的轨迹方程.

答案：
解 圆$A$的方程整理可得$(x + 1)^{2}+y^{2}=16$，则点$A$的坐标为$(-1, 0)$，圆$A$的半径为$4$，如图所示，因为$|AD| = |AC|$，所以$\angle ACD=\angle ADC$。
因为$EB// AC$，所以$\angle EBD=\angle ACD$，故$\angle EBD=\angle ADC$，所以$|EB| = |ED|$，故$|EA|+|EB| = |EA|+|ED| = |AD| = 4$，为定值。由题设得$A(-1, 0)$，$B(1, 0)$，$|AB| = 2$，由椭圆定义可得点$E$的轨迹是以$A$，$B$为焦点的椭圆（除去与$x$轴的交点），且$2a = 4$，$c = 1$，所以$a^{2}=4$，$b^{2}=3$，所以点$E$的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1(y\neq0)$。