《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10. (2024·山东潍坊一中月考)已知：①l与坐标轴所围成的三角形的面积为6；②l与$l_1$之间的距离为$\sqrt{10}$；③点A(1,1)到l的距离为$\sqrt{10}$. 在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：已知直线l与直线$l_1$：x + 3y - 1 = 0平行，且________，求l的方程.

答案： 解 依题意可设直线$l$的方程为$x + 3y + m = 0(m\neq - 1)$.
选择①, 令$x = 0$, 得$y=-\frac{m}{3}$, 令$y = 0$, 得$x=-m$,
$\therefore l$与坐标轴所围成的三角形的面积$S=\frac{1}{2}\times\frac{m^{2}}{3}=6$,
解得$m=\pm6$,
$\therefore l$的方程为$x + 3y + 6 = 0$或$x + 3y - 6 = 0$.
选择②,$\because l$与$l_{1}$之间的距离为$\sqrt{10}$,
$\therefore\frac{|m-(-1)|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$, 解得$m=-11$或$m = 9$,
$\therefore l$的方程为$x + 3y - 11 = 0$或$x + 3y + 9 = 0$.
选择③,$\because$点$A(1,1)$到$l$的距离为$\sqrt{10}$,
$\therefore\frac{|4 + m|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$, 解得$m=-14$或$m = 6$,
$\therefore l$的方程为$x + 3y - 14 = 0$或$x + 3y + 6 = 0$.

11. (2023·广东深圳摸底)直线2x + y - 1 = 0与直线x - 2y - 3 = 0交于点P，则点P到直线kx - (k + 1)y + 1 + 2k = 0(k∈R)的最大距离为（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $3\sqrt{2}$
D. $4\sqrt{2}$

答案： B 由题可列$\begin{cases}2x + y - 1 = 0,\\x - 2y - 3 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1,\\y=-1.\end{cases}$
所以点$P$的坐标为$(1,-1)$,
因为直线$kx-(k + 1)y + 1 + 2k = 0(k\in\mathbf{R})$,
即$k(x - y + 2)+(1 - y)=0$恒过定点$Q(-1,1)$,
所以点$P$到直线$kx-(k + 1)y + 1 + 2k = 0(k\in\mathbf{R})$的最大距离为$|PQ|=\sqrt{[1-(-1)]^{2}+(-1 - 1)^{2}}=2\sqrt{2}$.
故选 B.

12. (多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使|PM| = 4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是（ ）
A. y = x + 1
B. y = 2
C. 4x - 3y = 0
D. 2x - y + 1 = 0

答案： BC 对于 A,$M(5,0)$, 直线为$y = x + 1$, 所以点$M$到直线的距离为$d = 3\sqrt{2}\gt4$, 即点$M$到直线的最小距离大于 4, 所以直线上不存在点$P$使$|PM| = 4$成立, 故 A 错误;
对于 B,$M(5,0)$, 直线为$y = 2$, 所以点$M$到直线的距离为$d = 2\lt4$, 即点$M$到直线的最小距离小于 4, 所以直线上存在点$P$使$|PM| = 4$成立, 故 B 正确;
对于 C,$M(5,0)$, 直线为$4x - 3y = 0$, 所以点$M$到直线的距离为$d = 4$, 即点$M$到直线的最小距离等于 4, 所以直线上存在点$P$使$|PM| = 4$成立, 故 C 正确;
对于 D,$M(5,0)$, 直线为$2x - y + 1 = 0$, 所以点$M$到直线的距离为$d=\frac{11\sqrt{5}}{5}\gt4$, 即点$M$到直线的最小距离大于 4, 所以直线上不存在点$P$使$|PM| = 4$成立, 故 D 错误. 故选 BC.

13. 已知直线$l_1$：3x - 2y - 1 = 0和直线$l_2$：3x - 2y - 13 = 0，直线l与$l_1$，$l_2$的距离分别为$d_1$，$d_2$，若$d_1:d_2 = 2:1$，则直线l的方程为______________________.

答案： $3x - 2y - 9 = 0$或$3x - 2y - 25 = 0$
解析 设直线$l$的方程为$3x - 2y + c = 0(c\neq - 1,c\neq - 13)$,
由两平行线间的距离公式可得$|c + 1| = 2|c + 13|$,
$\therefore c=-9$或$c=-25$,
$\therefore$直线$l$的方程为$3x - 2y - 9 = 0$或$3x - 2y - 25 = 0$.

14. (2023·河南郑州期末)已知△ABC中，A(1,-1)，B(-1,3)，∠A = 90°，C在x轴上，点P是BC边上一动点，点A关于P的对称点为D.
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)当P与B，C不重合时，求四边形ABDC的面积.

答案： 解
(1)设$C(m,0)$, 因为$\angle A = 90^{\circ}$, 所以$k_{AB}\cdot k_{AC}=-2\times\frac{1}{m - 1}=-1$, 所以$m = 3$, 所以$C(3,0)$, 所以$k_{BC}=\frac{3 - 0}{-1 - 3}=-\frac{3}{4}$, 所以$BC$边所在直线的方程为$y=-\frac{3}{4}(x - 3)$, 即$3x + 4y - 9 = 0$.
(2)因为点$A$关于$P$的对称点为$D$, 且$P$在$BC$上, 所以$A$到$BC$所在直线的距离等于$D$到$BC$所在直线的距离,
又因为$\triangle ABC$,$\triangle DBC$有公共边$BC$, 所以$S_{四边形ABDC}=2S_{\triangle ABC}$,
又因为$A$到$BC$所在直线的距离为$\frac{|3 - 4 - 9|}{\sqrt{9 + 16}} = 2$,$|BC|=\sqrt{[3-(-1)]^{2}+(0 - 3)^{2}} = 5$,
所以$S_{四边形ABDC}=2S_{\triangle ABC}=2\times\frac{2\times5}{2}=10$.

15. (新定义题)定义点$P(x_0,y_0)$到直线l：ax + by + c = 0($a^2 + b^2 \neq 0$)的有向距离为$d = \frac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. 已知点$P_1$，$P_2$到直线l的有向距离分别是$d_1$，$d_2$，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若$d_1 = d_2 = 1$，则直线$P_1P_2$与直线l平行
B. 若$d_1 = 1$，$d_2 = -1$，则直线$P_1P_2$与直线l垂直
C. 若$d_1 + d_2 = 0$，则直线$P_1P_2$与直线l垂直
D. 若$d_1 \cdot d_2 \leq 0$，则直线$P_1P_2$与直线l相交

答案： A 对于选项 A, 设$P_{1}(x_{1},y_{1})$,$P_{2}(x_{2},y_{2})$,
由$d_{1}=d_{2}=1$, 得$ax_{1}+by_{1}+c = ax_{2}+by_{2}+c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\neq0$, 所以直线$P_{1}P_{2}$与直线$l$平行.
对于选项 B、C, 当点$P_{1}$在直线$l$一边, 点$P_{2}$在直线$l$另一边时, 可以使点$P_{1}$,$P_{2}$到直线$l$的距离相等, 有向距离相反, 但不能保证直线$P_{1}P_{2}$与直线$l$一定垂直.
对于选项 D, 当点$P_{1}$与$P_{2}$都在直线$l$上时,$d_{1}\cdot d_{2}=0$, 显然不满足条件.