《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 已知$A(2,-3),B(5,-7)$，则$|AB|=$（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： C 因为$A(2,-3)$，$B(5,-7)$，所以$|AB|=\sqrt{(2 - 5)^{2}+(-3 + 7)^{2}} = 5$. 故选 C.

2. 已知平面上两点$A(x,\sqrt{2}-x),B(\frac{\sqrt{2}}{2},0)$，则$|AB|$的最小值为（ ）
A. 3
B. $\frac{1}{3}$
C. 2
D. $\frac{1}{2}$

答案： D 根据题意，平面上两点$A(x,\sqrt{2}-x)$，$B(\frac{\sqrt{2}}{2},0)$，则$|AB|^{2}=(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\sqrt{2}-x)^{2}=2(x-\frac{3\sqrt{2}}{4})^{2}+\frac{1}{4}\geqslant\frac{1}{4}$，则有$|AB|\geqslant\frac{1}{2}$，则$|AB|$的最小值为$\frac{1}{2}$，故选 D.

3. 直线$l_1:3ax - y - 2 = 0$和直线$l_2:(2a - 1)x + 5ay - 1 = 0$分别过定点$A$和$B$，则$|AB|$等于（ ）
A. $\frac{13}{5}$
B. $\frac{17}{5}$
C. $\frac{11}{5}$
D. $\frac{\sqrt{89}}{5}$

答案： A 直线$l_{1}:y = 3ax - 2$过定点$A(0,-2)$，直线$l_{2}:a(2x + 5y)-(x + 1)=0$过定点$B(-1,\frac{2}{5})$，所以$|AB|=\sqrt{(-1 - 0)^{2}+[\frac{2}{5}-(-2)]^{2}}=\frac{13}{5}$.

4.（多选）直线$x + y - 1 = 0$上与点$P(-2,3)$的距离等于$\sqrt{2}$的点的坐标是（ ）
A. $(-4,5)$
B. $(-3,4)$
C. $(-1,2)$
D. $(0,1)$

答案： BC 设所求点的坐标为$(a,1 - a)$，则$\sqrt{(a + 2)^{2}+(1 - a - 3)^{2}}=\sqrt{2}$，解得$a=-3$或$a=-1$，所以所求点的坐标为$(-3,4)$或$(-1,2)$. 故选 BC.

5. 已知点$A(0,4),B(1,0)$，动点$P$在直线$x = -1$上，则$|PA| + |PB|$的最小值是（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案：
C 如图，$B$关于直线$x=-1$的对称点$C$的坐标为$(-3,0)$，连接$AC$，则$|PB| = |PC|$，则$|PA|+|PB|\geqslant|AC|$，即$A$，$P$，$C$三点共线时，$|PA|+|PB|$取最小值，为$|AC|=\sqrt{(-3 - 0)^{2}+(0 - 4)^{2}} = 5$. 故选 C.

6.（2024·山东烟台一中月考）直线$l_1:x - my - 2 = 0$与直线$l_2:mx + y + 2 = 0$交于点$Q$，$m$是实数，$O$为坐标原点，则$|OQ|$的最大值是（ ）
A. 2
B. $2\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{3}$
D. 4

答案： B 因为$l_{1}:x - my - 2 = 0$与$l_{2}:mx + y + 2 = 0$的交点坐标为$Q(\frac{2 - 2m}{1 + m^{2}},\frac{-2 - 2m}{1 + m^{2}})$，所以$|OQ|=\sqrt{(\frac{2 - 2m}{1 + m^{2}})^{2}+(\frac{-2 - 2m}{1 + m^{2}})^{2}}=\sqrt{\frac{8(1 + m^{2})}{(1 + m^{2})^{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1 + m^{2}}}$，当$m = 0$时，$|OQ|_{\max}=2\sqrt{2}$，所以$|OQ|$的最大值是$2\sqrt{2}$. 故选 B.

7. 已知$\triangle ABC$的顶点为$A(2,1),B(-2,3),C(0,-1)$，则$AC$边上的中线长为_______.

答案： $3\sqrt{2}$
解析 设$AC$边的中点为$D$，因为$A(2,1)$，$C(0,-1)$，则$D(1,0)$，又$B(-2,3)$，所以$AC$边上的中线长$|BD|=\sqrt{(-2 - 1)^{2}+(3 - 0)^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{2}$.

8. 已知点$A$在$x$轴上，点$B$在$y$轴上，线段$AB$的中点$M$的坐标为$(2,-1)$，则线段$AB$的长度为_______.

答案： $2\sqrt{5}$
解析 由题意，设$A(a,0)$，$B(0,b)$，由线段$AB$的中点为$M(2,-1)$，得$\frac{a + 0}{2}=2$，$\frac{0 + b}{2}=-1$，即$a = 4$，$b=-2$，所以$A(4,0)$，$B(0,-2)$，则由两点间的距离公式得$|AB|=\sqrt{(4 - 0)^{2}+[0-(-2)]^{2}} = 2\sqrt{5}$.

9. 已知$\triangle ABC$的三个顶点分别是$A(-1,0),B(1,0),C(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，试判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 解 因为$|AB|=|1-(-1)| = 2$，$|BC|=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}-0)^{2}} = 1$，$|AC|=\sqrt{[\frac{1}{2}-(-1)]^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}-0)^{2}}=\sqrt{3}$，所以$|AC|^{2}+|BC|^{2}=|AB|^{2}$，故$\triangle ABC$是直角三角形.